(数论)数的计算

题目描述 Description

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n):

先输入一个自然数n(n<=1000),然后对此自然数按照如下方法进行处理:

1.          不作任何处理;

2.          在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半;

3.          加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止.

输入描述 Input Description

一个数n

输出描述 Output Description

满足条件的数的个数

样例输入 Sample Input

6

样例输出 Sample Output

6

数据范围及提示 Data Size & Hint

6个数分别是：

6

16

26

126

36

136

分析：

    1. 本题难度看似不大，但如果用递归来做的话耗时非常大，因为需要重复计算的数据量太大了。当然我们也可以采取一边递归一边储存的方法，但计算量也还是不小，再进一步思考，实际上就是可以用如下的递推法来做；
    2. 例如要求f(6)，经过分析，我们知道：f(6)=f(1)+f(2)+f(3)+1，也就是说，f(6)的答案数量是在它之前可以取的所有自然数的答案数量之和（6之前可以取1，2，3三个自然数），最后加1是指数字6本身也是一个答案；
    3. 所以，我们可以知道f(n)=f(1)+f(2)+......f(trunc(n/2))+1；
    4. 因此，要求f(n)，我们只需用上述公式编一个递推过程，把f(2)到f(n)全部求出即可，对于f(1000)也不超过1秒就能得到结果。
    第二种算法：
    1. 对于f(7)=f(6)是显而易见的，也即f(2n+1)=f(2n)。那么，f(8)和f(7)之间有什么关系呢？
    2. 分析可知：f(8)和f(7)的差别是，f(8)除了包含f(7)的所有情况外，还要多加上f(4)，即：f(8)=f(7)+f(4)。因此可得：f(2n)=f(2n-1)+f(n)。只需据此编一个递归小过程或者用递推方法即可。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int i,n,ans,sum[1001];
    sum[0] = 0,sum [1] = 1;
    cin>>n;
    for(i = 2 ; i <= n ; i++)
    {
        ans = sum[i/2] + 1;
        sum [i] = sum[i-1] + ans;
    }
    cout<<sum[n] - sum[n-1]<<endl;
    return 0;
}