51Nod 1352 集合计数（扩展欧几里德）

题目链接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1352

题目大意：

给出N个固定集合{1，N},{2,N-1},{3,N-2},...,{N-1,2},{N,1}.求出有多少个集合满足：第一个元素是A的倍数且第二个元素是B的倍数。

提示：

对于第二组测试数据，集合分别是：{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},{6,5},{7,4},{8,3},{9,2},{10,1}.满足条件的是第2个和第8个。

解题思路：

因为第一个元素+第二个元素等于N+1，所以可以列二元一次方程A*x+B*y=N+1求出其中一对解（x0,y0），并得到ra=A/gcd(A,B)，rb=B/gcd(A,B)，

接下来我们需要求出最小的x，根据方程，我们知道每当y-1则x-A/B(约分后为rb/ra),因为解是整数所以x每次只能减少rb,所以最小的x为x%rb。

于是得到（x1,y1）为x最小,y最大是的情况。接下来求总共有几组解，同理根据上面求最小的x的方法，y每次只能减少ra，x每次只能增加rb。

同时要满足两个条件：①A*x<=n  ②y>0所以最后答案就为1+min(y/ra,(N-A*x)/(A*rb))。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
//ax+by=gcd(a,b),d为最后求出的gcd(a,b)
void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d){
    if(!b){
        d=a;
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    ex_gcd(b,a%b,y,x,d);
    y=y-a/b*x;
}

LL cal(LL a,LL b,LL n){
    LL x,y,d;
    n++;                  //n+1
    ex_gcd(a,b,x,y,d);
    if(n%d)               //ax+by=c,gcd(a,b)|c不成立,则无解
        return 0;
    x*=n/d;
    y*=n/d;
    LL rb=b/d,ra=a/d;
    x=(x%rb+rb)%rb;       //求出最小的x,每当y-1则x-a/b(约分后为rb/ra),因为解是整数所以x每次只能减少rb,所以最小的x为x%rb。
    y=(n-a*x)/b;          //最大的y
    if(x==0)              //x不能为0
        x+=rb;
    if(a*x>n-1)           //无解
        return 0;
    return 1+min(y/ra,(n-1-a*x)/(a*rb));//跟求最小的x时同理,但要满足：①a*x<=n-1 ②y>0
}

int main(){
    int t;
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>t;
    while(t--){
        int n,a,b;
        cin>>n>>a>>b;
        cout<<cal(a,b,n)<<endl;
    }
    return 0;
}