以下内容许多都是看这里的：http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7854530
尼姆博弈(Nim Game)：两个人要玩一个游戏，有n堆纸牌，每堆有若干张，每人轮流取物纸牌，每次可以从其中一堆中取出若干张（不能不取），谁最后取完所有纸牌谁就获胜。
尼姆博弈有一个关键的定理：nim-sum是所有堆的纸牌数的异或值，比如有3堆纸牌，数量分别为a1,a2,a3。如果a1^a2^a3=0（这里的^是异或的意思），则先手必败，反之先手可以获胜。
结论一（取完获胜）：
1.可以通过计算所有堆的nim-sum，nim-sum!=0先手胜，反之后手胜。
2.可以用计算后的nim-sum分别与所有堆的元素进行异或操作，如果得到结果小于原来堆的元素，则为可选操作。
我们这里有两个问题：
一、有n堆纸牌，每堆有若干张，轮流取，每次可以从某一堆取若干张，谁取完就获胜。经典的尼姆博弈。
二、有n堆纸牌，每堆有若干张，轮流取，每次可以从某一堆取若干张，谁取完就输掉。变形，把胜负条件反转一下。
我们接下来分析一下，设数量为1的堆为孤单堆，数量大于1的为充裕堆。令sum=a1^a2^...an。
设置状态①S0态，sum!=0&&充裕堆=0（奇数个为孤单堆）。
②T0态，sum=0&&充裕堆=0（偶数个孤单堆）。
③S1态：充裕堆=1，必胜态（无论问题一还是二都是必胜，可以通过对富裕堆取得只剩一张牌或者全部取完，改变剩余n-1个孤单堆的奇偶性）。
④S2态，sum!=0&&充裕堆>=2。
⑤T2态，sum=0&&充裕堆>=2。
以上5种状态已经涵盖了所有可能出现的情况。同时我们也可以得出几个个定理：
a）S2态会进入T2态。（富裕堆不可能一次从2变为0，所以S2可能进入S1或T2，S1是必胜态，不可能让给对手，所以进入T2）
b）T2态只能进入S2态或S1态。
c）S1态可以任意选择进入S0或者T0。
d）S0只能进入T0,T0只能进入S0。
先来看问题一：
这里S0态是必胜态，T0态是必败态。
那么我们推理一下S2和T2的胜负性质，S2->T2->S2->....->T2->S1->T0->S0->....->T0->S0->T0(全部为0)。
从上面我们可以看到如果自己是T2态那么一定会把S1态让给别人，又因为S1态可以任意选择S0或者T0态，所以S1态必胜。所以S2是必胜态，T2是必败态。
接下来看问题二：
这里S0态是必败态，T0态是必胜态。
同理，我们推理一下S2和T2，S2->T2->S2->....->T2->S1->T0->S0->....->T0->S0->T0(全部为0)。
我们会发现如果自己是T2态就会把S1态让给别人，S1态必胜。所以S2是必胜态，T2是必败态。(好吧感觉完全是重复了一遍- -、)
这恰恰反应了在两个问题中“除了S0和T0的胜负性质发生了变化，S1、S2永远是必胜态，T2永远是必败态。”，所以除了每堆都是1时的特判，其他时候判断都是一样的。
结论二（取完失败）：
1.如果每堆都是1，则判断奇偶，奇数后手胜，偶数先手胜。
2.其他情况下如果nim-sum！=0则先手胜，反之后手胜。
例题一：
HDU 1850 Being a Good Boy in Spring Festivaly
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1850
题目大意：有m堆牌，两个人先后取某堆中的任意（不少于一）张牌，最后取完者胜，问先手取胜第一次取牌有多少种取法。
解题思路：典型的尼姆弈。关于有多少种胜利的取法，我们只需要判断一下在某一堆m张牌之后是否会使得a1^a2^a3.....^an=0成立，可以通过使用异或的性质，比如取第一堆，只要判断a2^a3.....^n<a1是否成立即可，把每一堆都遍历一遍就可找出答案。
代码：
1 #include<cstdio> 2 int a[105]; 3 4 int main(){ 5 int n; 6 while(scanf("%d",&n)&&n){ 7 int sum=0;//a[1]~a[n]的异或值 8 for(int i=1;i<=n;i++){ 9 scanf("%d",&a[i]); 10 sum^=a[i]; 11 } 12 int ans=0; 13 for(int i=1;i<=n;i++){ 14 sum^=a[i];//a^b^b=a^0=a 15 if(sum<a[i]) 16 ans++; 17 sum^=a[i]; 18 } 19 printf("%d ",ans); 20 } 21 }
例题二：
HDU 1907、HDU 2509
题目大意：两题除了输入输出一模一样，尼姆博弈变形，最后取完所有物品的人不是获胜而是失败，判断最后获胜的人。
解题思路：就是我在开头介绍的问题二的类型，直接套结论：
①所有堆个数都为1时，若堆数为奇数则后手胜，若堆数为偶数则先手胜。
②其他情况，所有堆的异或值sum！=0那就先手胜，反之后手胜。
代码：
1 #include<cstdio> 2 int a[50]; 3 4 int main(){ 5 int T; 6 scanf("%d",&T); 7 while(T--){ 8 int n; 9 scanf("%d",&n); 10 int sum=0,count=0; 11 bool flag=false; 12 for(int i=1;i<=n;i++){ 13 scanf("%d",&a[i]); 14 if(a[i]==1) 15 count++; 16 sum^=a[i]; 17 } 18 if(count==n) 19 flag=(count%2==0); 20 else 21 flag=(sum!=0); 22 if(flag) 23 printf("John "); 24 else 25 printf("Brother "); 26 } 27 }