学习笔记 生成函数

(T(x)=xe^{T(x)})

引自yyb的博客

EGF本质上和OGF是类似的，区别在于除了一个阶乘。

分母多除了一个阶乘意味着分子也要多乘阶乘，而你的值就是分子的值，所以多乘一个阶乘当然是排列了

阶乘在计数中意为着什么呢？顺序。
那么从中，我们明白了这样一件事情：OGF考虑的是组合，意味着相同物品之间没有区别，而EGF考虑的是排列，相同之间也要考虑一个顺序关系。

基础知识

约定

(x^{overline{n}}=Pi_{i=0}^{n-1}(x+i)=x(x+1)...(x+n-1))

(x^{underline{n}}=Pi_{i=0}^{n-1}(x-i)=x(x-1)..(x-n+1))

函数(F(x)) 的(x^n) 项系数记作([x^n]F(x))

广义二项式,幂级数(OGF用)

系数

({alpha choose k}=frac{alpha(alpha-1)...(alpha-k+1)}{k!})

定理

((x+y)^alpha=sum_{k=0}^{infty}{alphachoose k}x^{alpha-k}y^k)

常用展开

(frac{1}{1-A(x)}=sum_{ige 0}A^{i}(x))

泰勒级数（EGF用）

麦克劳林级数

(sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n)

常用展开

(e^x=sum_{nge0}frac{1}{n!}x^n)

(xe^x=sum_{nge 0}frac{n}{n!}x^n)

(e^{Cx}=sum_{ige 0}frac{C^n}{n!}x^n)

(ln(1-x)=-sum_{nge1}frac{1}{n}x^n)

常用运算

(frac{1}{1-A(x)}=sum_{ige 0}A^{i}(x))

(ln(1-A(x))=-sum_{ige1}frac{1}{i}A^i(x))

(exp(A(x))=sum_{ige 0}frac{A^i(x)}{i!})

题目选解

第一类 STIRLING 数列的生成函数

推一下递推式子

[egin{aligned} F_{n+1}(x)&=sum_{ige 1}(nS(n,i)+ S(n,i-1))x^i\&=nsum_{ige1}S(n,i)x^i+xsum_{ige1}S(n,i-1)x^{i-1}\&=(x+n)F_n(x) end{aligned} ]

然后数学归纳法可证(F_n(x)=Pi_{i=0}^{n-1}(x+i)=x^{overline{n}})

城市规划

设(g(n)=2^{frac{n(n-1)}{2}}/n!=2^{nchoose2}/n!)表示n个点的有标号无向图(不一定连通)的方案数/n!

(f(n))表示n个点的有标号连通无向图的方案数/n!

然后写出这两个的生成函数 $ G(x)$ , (F(x))，发现是EGF型的

还有如下关系

[egin{aligned}G(x)&=sum_{kge0}frac{F^{k}(x)}{k!} \ &=exp(F(x))end{aligned} ]

故(F(x)=ln(G(x)))

答案为([F_n]G*n!)

付公主的背包

相乘转换为对数相加

见题解 付公主的背包

参考资料

yyb的博客

鏼爷15年集训队论文