$Loj10155$ 数字转换(求树的最长链) 树形$DP$

loj

Description

如果一个数x的/约数和/y(不包括他本身)比他本身小,那么x可以变成y,y 也可以变成x.限定所有数字变换在不超过n的正整数范围内进行,求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数.

注意断句QwQ,是x的/约数和/y,不是x的约数/和/y

Sol

先预处理出每个数的约数和,将可以转换的数连边

可将数x的约数和y看成x的父结点,将以x为约数和的数看成x的子结点,这显然是一棵树

题目也就转换成了求这棵数的最长链

对于结点x,只要维护 在以之为根的树内 一端为x的 最长链与次长链即可

(感觉上面那句话写得很凌乱,所以就自己打空格断句了)

具体来说,d1[x]表示最长链的长度,d2[x]表示次长链的长度,y是x的孩子

if(d1[y]+1>d1[x]) d2[x]=d1[x],d1[x]=d1[y]+1;

else d2[x]=max(d2[x],d1[y]+1);

之前在想为什么不是 if(d1[y]+1>d1[x]) d2[x]=max(d1[x],d2[y]+1),d1[x]=d1[y]+1;

也就是为什么y的次长链不能更新x的次长链,发现其实d1[x]与d2[x]不能x的同一棵子树中的!

画图理解一下

如果d1[1]和d2[1]都在右子树中,那么d1[1]+d2[1]所构成的链是图中红色箭头所表示的那样,实际并不能算是树中的一条链

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define Rg register
#define il inline
#define go(i,a,b) for(Rg int i=a;i<=b;++i)
#define yes(i,a,b) for(Rg int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
il int read()
{
    int x=0,y=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')y=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';c=getchar();}
    return x*y;
}
const int N=50001;
int n,ans,a[N],d1[N],d2[N];
int main()
{
    n=read();
    go(i,1,n)
        go(j,2,n/i)a[i*j]+=i;
    yes(x,n,1)
    {
        int y=a[x];if(y>=x)continue;
        if(d1[y]<d1[x]+1){d2[y]=d1[y],d1[y]=d1[x]+1;}
        else d2[y]=max(d2[y],d1[x]+1);
    }
    go(i,1,n)ans=max(ans,d1[i]+d2[i]);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}