UVa 1642 Magical GCD (动态规划)

题目

题目大意

输入一个(n)((n ≤ 100000))个元素的正整数序列(a_1, a_2, cdots , a_n)((1 ≤ a_i ≤ 10^{12})), 求一个连续子序列, 使得该序列中所有元素的最大公约数与序列长度的乘积最大。例如, (5)个元素的序列(30, 60, 20, 20, 20)的最优解为({60, 20, 20, 20}), 乘积为(4(60, (20, (20, (20, 20)))) = 80)。

题解

对于(n + 1)个数与(n)个数的最大公约数要么相等, 要么减小并且减小至少一半(至少少了一个因子)。因此所有子串最大公约数的总种类数最多只有(n lg a)((a)为最大数大小)个。我们枚举每个点计算以这个点为结束点的所有后缀, 利用DP的思想通过前一次计算的最多(lg a)个最大公约数计算出此时也是最多(lg a')个最大公约数。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
long long arr[100010], gcd[100010][100];
int length[100010][100];
int T, n;
inline long long GreatestCommonDivisor(const long long&, const long long&);
int main(int argc, char const *argv[]) {
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    scanf("%d", &n);
    for (register int i(0); i < n; ++i) {
      scanf("%lld", &arr[i]);
    }
    register long long ans(0LL);
    register int countt, previous(0);
    for (register int i(0); i < n; ++i) {
      countt = 0;
      gcd[i][countt] = arr[i],
      length[i][countt] = 1;
      ans = std::max(ans, arr[i]);
      ++countt;
      for (register int j(0); j < previous; ++j) {
        gcd[i][countt] = GreatestCommonDivisor(arr[i], gcd[i - 1][j]);
        length[i][countt] = length[i - 1][j] + 1;
        ans = std::max(ans, gcd[i][countt] * length[i][countt]);
        if (gcd[i][countt] == gcd[i][countt - 1]) {
          length[i][countt - 1] = length[i][countt];
        } else {
          ++countt;
        }
      }
      previous = countt;
    }
    printf("%lld
", ans);
  }
  return 0;
}
inline long long GreatestCommonDivisor(const long long &a, const long long &b) {
  return b ? GreatestCommonDivisor(b, a % b) : a;
}