[Luogu] P4366 [Code+#4]最短路

题目背景

在北纬 91° ，有一个神奇的国度，叫做企鹅国。这里的企鹅也有自己发达的文明，称为企鹅文明。因为企鹅只有黑白两种颜色，所以他们的数学也是以二进制为基础发展的。

比如早在 111010011110100111101001 年前，他们就有了异或这样一个数学概念。如果你不知道异或是什么，请出门过墙左转到这里。

再比如早在 100001010000101000010 年前，他们的大科学家 Penguin. Tu 就提出了图和最短路径这样一些概念。

题目描述

企鹅国中有 NNN 座城市，编号从 111 到 NNN 。

对于任意的两座城市 iii 和 jjj ，企鹅们可以花费 (i xor j)×C(i~mathrm{xor}~j) imes C(i xor j)×C 的时间从城市 iii 走到城市 jjj ，这里 CCC 为一个给定的常数。

当然除此之外还有 MMM 条单向的快捷通道，第 iii 条快捷通道从第 FiF_iFi​​​ 个城市通向第 TiT_iTi​​​ 个城市，走这条通道需要消耗 ViV_iVi​​​ 的时间。

现在来自 Penguin Kingdom University SDFZ 的企鹅豆豆正在考虑从城市 AAA 前往城市 BBB 最少需要多少时间？

输入输出格式

输入格式：

从标准输入读入数据。

输入第一行包含三个整数 N,M,C，表示企鹅国城市的个数、快捷通道的个数以及题面中提到的给定的常数C。

接下来的 MMM 行，每行三个正整数 Fi,Ti,Vi (1≤Fi≤N1,1≤Ti​≤N,1≤Vi​≤100)，分别表示对应通道的起点城市标号、终点城市标号和通过这条通道需要消耗的时间。

最后一行两个正整数 A,BA,BA,B (1≤C≤100)，表示企鹅豆豆选择的起点城市标号和终点城市标号。

输出格式：

输出到标准输出。

输出一行一个整数，表示从城市 A 前往城市 B 需要的最少时间。

题目分析

关于SPFA：它死了。讲真我不觉得在类似网格图的东西上用SPFA是什么好办法

但即使是Dijkstra也完全无法承受如此巨大的数据范围，所以一定不是暴力建边。

折腾一下可以发现一些神奇性质：我们可以试着把这些点转成二进制，与其一下把所有位都转化成需要的数字不如一位一位转化，反正边权和是一样的。

举个例子，从00000到11111，直接一步到边权位00000 xor 11111 = 11111，我们也可以00000 -> 00001 -> 00011 -> 00111 -> 01111 -> 11111，发现这样和原来的代价是一样的！

根据这样的性质，我们只要把x和x*2^k连边就可以了（这里读作“二的k次方”，“^”不表示xor）。

再加上玄学优化的Dijkstra就可以了，堆优化好像有点悬，得吸氧

Code

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cctype>
using namespace std;

const int MAXN = 100000 + 5;
const int MAXM = 500000 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read() {
    int X = 0,w = 0;char ch = 0;
    while(!isdigit(ch)) {w |= ch == '-';ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) X = (X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch = getchar();
    return w ? -X : X;
}

struct Edge {
    int nxt;
    int to,w;
} l[MAXM + MAXN * 20];
struct Node {
    int id;
    int dis;
    friend bool operator < (Node x,Node y) {
        return x.dis > y.dis;
    }
} a[MAXN];

int n,m,c;
int s,t;
int head[MAXN],cnt;
int dis[MAXN];
bool vis[MAXN];
//priority_queue <pair,vector<pair>,greater<pair>> q;
priority_queue<Node> q;

void add(int x,int y,int z) {
    cnt++;
    l[cnt].nxt = head[x];
    l[cnt].to = y;
    l[cnt].w = z;
    head[x] = cnt;
    return;
}

inline void dijkstra(int s) {
//    int cur;
//    memset(dis,127,sizeof(dis));
//    dis[s] = 0;
//    q.push(pair(0,s));
//    while(!q.empty()) {
//        cur = q.top().second;
//        tmp = q.top().first;
//        q.pop();
//        if(tmp != dis[cur]) continue;
//        for(int i = head[cur];i;i = l[i].nxt){
//            if(dis[l[i].to] > dis[cur] + l[i].w) {
//                dis[l[i].to] > dis[cur] + l[i].w
//                q.push(pair(dis[l[i].to],l[i].to));
//            }
//        }
//    }
//    return;
    for(int i = 1;i <= n;i++) {
        a[i].dis = INF;
        a[i].id = i;
    }
    int cur;
    a[s].dis = 0;
    q.push(a[s]);
    while(!q.empty()) {
        cur = q.top().id;
        q.pop();
        if(vis[cur]) continue;
        vis[cur] = true;
        for(int i = head[cur];i;i = l[i].nxt) {
            if(vis[l[i].to]) continue;
            if(a[l[i].to].dis > a[cur].dis + l[i].w) {
                a[l[i].to].dis = a[cur].dis + l[i].w;
                q.push(a[l[i].to]);
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
    int x,y,z;
    for(register int i = 1;i <= m;i++) {
        x=read(),y=read(),z=read();
        add(x,y,z);
    }
    for(register int i = 0;i <= n;i++) {
        for(register int j = 1;j <= n;j <<= 1) {
            if((i ^ j) > n) continue;
            add(i,i^j,j*c);
        }
    }
//    for(int i = 1;i <= cnt;i++) {//DEBUG
//        cout<<"DEBUG: "<<i<<" "<<l[i].nxt<<" "<<l[i].to<<" "<<l[i].w<<endl;
//    }
    scanf("%d%d",&s,&t);
    dijkstra(s);
    printf("%d
",a[t].dis);
//    for(int i = 1;i <= n;i++) cout<<a[i].dis<<" ";
    return 0;
}