（常规字母代表标量，粗体字母代表向量，大写粗体字母代表矩阵）
逻辑回归虽然名字里面有回归，但是主要用来解决分类问题。
一、线性回归（Linear Regression）
线性回归的表达式：
线性回归对于给定的输入 ，输出的是一个数值 y ，因此它是一个解决回归问题的模型。
为了消除掉后面的常数项b，我们可以令 ，同时
，也就是说给x多加一项而且值恒为1，这样b就到了w里面去了，直线方程可以化简成为：
在接下来的文章中为了方便，我们所使用的 其实指代的是
。
二、分类问题（Classification）
二分类问题就是给定的输入 ，判断它的标签是A类还是类。二分类问题是最简单的分类问题。我们可以把多分类问题转化成一组二分类问题。比如最简单的是OVA(One-vs-all)方法，比如一个10分类问题，我们可以分别判断输入
是否属于某个类，从而转换成10个二分类问题。
因此，解决了二分类问题，相当于解决了多分类问题。
三、如何用连续的数值去预测离散的标签值呢？
线性回归的输出是一个数值，而不是一个标签，显然不能直接解决二分类问题。那我如何改进我们的回归模型来预测标签呢？
一个最直观的办法就是设定一个阈值，比如0，如果我们预测的数值 y > 0 ，那么属于标签A，反之属于标签B，采用这种方法的模型又叫做感知机（Perceptron）。
另一种方法，我们不去直接预测标签，而是去预测标签为A概率，我们知道概率是一个[0,1]区间的连续数值，那我们的输出的数值就是标签为A的概率。一般的如果标签为A的概率大于0.5，我们就认为它是A类，否则就是B类。这就是我们的这次的主角逻辑回归模型 (Logistics Regression)。
四、逻辑回归（logistics regression）
明确了预测目标是标签为A的概率。
我们知道，概率是属于[0,1]区间。但是线性模型 值域是
。
我们不能直接基于线性模型建模。需要找到一个模型的值域刚好在[0,1]区间，同时要足够好用。
于是，选择了我们的sigmoid函数。
它的表达式为： 。
它的图像：
sigmoid函数
这个函数的有很多非常好的性质，一会儿你就会感受到。但是我们不能直接拿了sigmoid函数就用，毕竟它连要训练的参数 w 都没得。
我们结合sigmoid函数，线性回归函数，把线性回归模型的输出作为sigmoid函数的输入。于是最后就变成了逻辑回归模型：
假设我们已经训练好了一组权值 。只要把我们需要预测的
代入到上面的方程，输出的y值就是这个标签为A的概率，我们就能够判断输入数据是属于哪个类别。
接下来就来详细介绍，如何利用一组采集到的真实样本，训练出参数w的值。
五、逻辑回归的损失函数（Loss Function）
损失函数就是用来衡量模型的输出与真实输出的差别。
假设只有两个标签1和0， 。我们把采集到的任何一组样本看做一个事件的话，那么这个事件发生的概率假设为p。我们的模型y的值等于标签为1的概率也就是p。
因为标签不是1就是0，因此标签为0的概率就是： 。
我们把单个样本看做一个事件，那么这个事件发生的概率就是：
这个函数不方便计算，它等价于:
。
解释下这个函数的含义，我们采集到了一个样本 。对这个样本，它的标签是
的概率是
。 （当y=1，结果是p；当y=0，结果是1-p）。
如果我们采集到了一组数据一共N个， ，这个合成在一起的合事件发生的总概率怎么求呢？其实就是将每一个样本发生的概率相乘就可以了，即采集到这组样本的概率：
注意 是一个函数，并且未知的量只有
（在p里面）。
由于连乘很复杂，我们通过两边取对数来把连乘变成连加的形式，即：
其中，
这个函数 又叫做它的损失函数。损失函数可以理解成衡量我们当前的模型的输出结果，跟实际的输出结果之间的差距的一种函数。这里的损失函数的值等于事件发生的总概率，我们希望它越大越好。但是跟损失的含义有点儿违背，因此也可以在前面取个负号。
六、最大似然估计MLE(Maximum Likelihood Estimation)
我们在真实世界中并不能直接看到概率是多少，我们只能观测到事件是否发生。也就是说，我们只能知道一个样本它实际的标签是1还是0。那么我们如何估计参数 跟b的值呢？
最大似然估计MLE(Maximum Likelihood Estimation)，就是一种估计参数 的方法。在这里如何使用MLE来估计
呢？
在上一节，我们知道损失函数 是正比于总概率
的，而
又只有一个变量
。也就是说，通过改变
的值，就能得到不同的总概率值
。那么当我们选取的某个
刚好使得总概率
取得最大值的时候。我们就认为这个
就是我们要求得的
的值，这就是最大似然估计的思想。
现在我们的问题变成了，找到一个 ，使得我们的总事件发生的概率，即损失函数
取得最大值，这句话用数学语言表达就是：
七、 求 的梯度
梯度的定义
我们知道对于一个一维的标量x，它有导数 。
对一个多维的向量 来说，它的导数叫做梯度，也就是分别对于它的每个分量求导数
。
接下来请拿出纸笔，一起动手来推导出 的表达式。请尽量尝试自己动手推导出来，如果哪一步不会了再看我的推导。
七（二）、求梯度的推导过程
为了求出 的梯度
，我们需要做一些准备工作。原谅我非常不喜欢看大串的数学公式，所以我尽可能用最简单的数学符号来描述。当然可能不够严谨，但是我觉得更容易看懂。
首先，我们需要知道向量是如何求导的。具体的推导过程以及原理请参见 矩阵求导
我们只要记住几个结论就行了：对于一个矩阵 乘以一个向量的方程
，对向量
求导的结果是
。在这里我们把函数
对
求梯度简单记作
。因此
, 推论是
，我们把
代入进去，可以知道
。
然后求 的值：
p是一个关于变量 的函数，我们对p求导，通过链式求导法则，慢慢展开可以得：
上面都是我们做的准备工作，总之我们得记住： , 并且可以知道
。
下面我们正式开始对 求导，求导的时候请始终记住，我们的变量只有
，其他的什么
都是已知的，可以看做常数。
终于，我们求出了梯度 的表达式了，现在我们再来看看它长什么样子：
它是如此简洁优雅，这就是我们选取sigmoid函数的原因之一。当然我们也能够把p再展开，即：
八、梯度下降法（GD）与随机梯度下降法（SGD）
现在我们已经解出了损失函数 在任意
处的梯度
，可是我们怎么算出来
呢？ 回到之前的问题，我们现在要求损失函数取最大值时候的
的值：
梯度下降法(Gradient Descent)，可以用来解决这个问题。核心思想就是先随便初始化一个 ，然后给定一个步长
，通过不断地修改
<-
，从而最后靠近到达取得最大值的点，即不断进行下面的迭代过程，直到达到指定次数，或者梯度等于0为止。
随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent），如果我们能够在每次更新过程中，加入一点点噪声扰动，可能会更加快速地逼近最优值。在SGD中，我们不直接使用 ，而是采用另一个输出为随机变量的替代函数
:
当然，这个替代函数 需要满足它的期望值等于
，相当于这个函数围绕着
的输出值随机波动。
在这里我先解释一个问题：为什么可以用梯度下降法？
因为逻辑回归的损失函数L是一个连续的凸函数（conveniently convex）。这样的函数的特征是，它只会有一个全局最优的点，不存在局部最优。对于GD跟SGD最大的潜在问题就是它们可能会陷入局部最优。然而这个问题在逻辑回归里面就不存在了，因为它的损失函数的良好特性，导致它并不会有好几个局部最优。当我们的GD跟SGD收敛以后，我们得到的极值点一定就是全局最优的点，因此我们可以放心地用GD跟SGD来求解。
好了，那我们要怎么实现学习算法呢？其实很简单，注意我们GD求导每次都耿直地用到了所有的样本点，从1一直到N都参与梯度计算。
在SGD中，我们每次只要均匀地、随机选取其中一个样本 ,用它代表整体样本，即把它的值乘以N，就相当于获得了梯度的无偏估计值，即
，因此SGD的更新公式为：
这样我们前面的求和就没有了，同时 都是常数，
的值刚好可以并入
当中,因此SGD的迭代更新公式为：
其中 是对所有样本随机抽样的一个结果。
九、逻辑回归的可解释性
逻辑回归最大的特点就是可解释性很强。
在模型训练完成之后，我们获得了一组n维的权重向量 跟偏差 b。
对于权重向量 ，它的每一个维度的值，代表了这个维度的特征对于最终分类结果的贡献大小。假如这个维度是正，说明这个特征对于结果是有正向的贡献，那么它的值越大，说明这个特征对于分类为正起到的作用越重要。
对于偏差b (Bias)，一定程度代表了正负两个类别的判定的容易程度。假如b是0，那么正负类别是均匀的。如果b大于0，说明它更容易被分为正类，反之亦然。
根据逻辑回归里的权重向量在每个特征上面的大小，就能够对于每个特征的重要程度有一个量化的清楚的认识，这就是为什么说逻辑回归模型有着很强的解释性的原因。
十、决策边界
补充评论里的一个问题，逻辑回归的决策边界是否是线性的，相当于问曲线：
是不是的线性的，我们可以稍微化简一下上面的曲线公式，得到：
我们得到了一个等价的曲线，显然它是一个超平面（它在数据是二维的情况下是一条直线）。
十一、总结
终于一切都搞清楚了，现在我们来理一理思路，首先逻辑回归模型长这样：
其中我们不知道的量是 ，假设我们已经训练好了一个
, 我们用模型来判断
的标签呢？很简单，直接将
代入y中，求出来的值就是
的标签是1的概率，如果概率大于0.5，那么我们认为它就是1类，否则就是0类。
那怎么得到 呢？
如果采用随机梯度下降法的话，我们首先随机产生一个的初始值
,然后通过公式不断迭代从而求得
的值：
每次迭代都从所有样本中随机抽取一个 来代入上述方程。
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