线性规划问题的基本内容
线性规划解决的是自变量在一定的线性约束条件下，使得线性目标函数求得最大值或者最小值的问题。
[min z=sum_{j=1}^{n} f_{j} x_{j}
]
[ ext { s.t. }left{egin{array}{ll}{sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j} leqslant b_{i}} & {(i=1,2, cdots, m)} \ {sum_{j=1}^{n} a_{k j}^{mathrm{eq}} x_{j} leqslant b_{k}^{mathrm{eq}}} & {(k=1,2, cdots, h)} \ {mathrm{lb}_{j} leqslant x_{j} leqslant mathrm{ub}_{j}} & {(j=1,2, cdots, n)}end{array}
ight.
]
其中
价值系数向量为
[mathbf{F}=left(f_{1}, f_{2}, cdots, f_{n}
ight)^{mathrm{T}}
]
决策变量向量为
[mathbf{X}=left(x_{1}, x_{2}, cdots, x_{n}
ight)^{mathrm{T}}
]
不等式约束系数矩阵为
[mathbf{A}=left(egin{array}{ccc}{a_{11}} & {cdots} & {a_{1 n}} \ {vdots} & {ddots} & {vdots} \ {a_{m 1}} & {cdots} & {a_{m n}}end{array}
ight)
]
不等式右端常数向量为
[mathbf{B}=left(b_{1}, b_{2}, cdots, b_{n}
ight)^{mathrm{T}}
]
等式约束系数矩阵为
[mathbf{A}_{eq} = left(egin{array}{ccc}{a_{11}^{mathrm{cq}}} & {cdots} & {a_{1 n}^{mathrm{cq}}} \ {vdots} & {ddots} & {vdots} \ {a_{mathrm{h1}}^{mathrm{eq}}} & {cdots} & {a_{mathrm{hn}}^{mathrm{eq}}}end{array}
ight)
]
等式右端常数向量为
[mathbf{B}_{mathrm{eq}}=left(b_{1}^{mathrm{eq}}, b_{2}^{mathrm{eq}}, cdots, b_{mathrm{h}}^{mathrm{eq}}
ight)^{mathrm{T}}
]
决策变量下界向量为
[mathbf{L B}=left(mathrm{lb}_{1}, mathrm{lb}_{2}, cdots, mathrm{lb}_{n}
ight)^{mathrm{T}}
]
决策变量上界变量为
[mathbf{UB}=left(mathrm{ub}_{1}, mathrm{ub}_{2}, cdots, mathrm{ub}_{n}
ight)^{mathrm{T}}
]
当目标函数为最小值时，上述问题可以写成如下形式：
[min z=oldsymbol{F}^{mathrm{T}} oldsymbol{X}
]
[ ext { s.t. }left{egin{array}{l}{mathbf{A}mathbf{X} leqslant mathbf{B}} \ {mathbf{A}_{mathrm{eq}} mathbf{X}=mathbf{B}_{mathrm{eq}}} \ {mathbf{LB} leqslant mathbf{X} leqslant mathbf{UB}}end{array}
ight.
]
当目标函数为最大值时，上述问题可以写成如下形式：
[max z=oldsymbol{-F}^{mathrm{T}} oldsymbol{X}
]
[ ext { s.t. }left{egin{array}{l}{mathbf{A}mathbf{X} leqslant mathbf{B}} \ {mathbf{A}_{mathrm{eq}} mathbf{X}=mathbf{B}_{mathrm{eq}}} \ {mathbf{LB} leqslant mathbf{X} leqslant mathbf{UB}}end{array}
ight.
]
Matlab模型代码
调用形式
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] = linprog(F,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) % 目标函数为最小值
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] = linprog(-F,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) % 目标函数为最大值
输入变量
-
F 为目标函数中的价值系数向量
-
A 为不等式约束系数矩阵(注意默认不等式方向为小于等于，若为大于等于，需要将其取相反数)
-
B 为不等式右端常数向量(注意默认不等式方向为小于等于，若为大于等于，需要将其取相反数)
-
Aeq 为等式约束系数矩阵
-
Beq 为等式右端常数向量
-
LB 为决策变量下界向量
-
UB为决策变量上界向量
在调用时，输入参数不存在时，可以将其输入用 [] 空矩阵表示。
输出变量
- X 为最优解
- FVAL 为最优目标值
- EXITFLAG 为运行结束标志，当等于1时，表示程序收敛于解 X；当等于0时，表示程序运行次数到达最大；当小于0时，说明情况较多
- OUTPUT 为程序迭代次数
- LAMBDA 为解X相关的Largrange乘子和影子价格
案例演示
目标函数与约束条件
[min z=2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}
]
[left{egin{array}{l}{x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3} geq 8} \ {3 x_{1}+2 x_{2} geq 6} \ {x_{1}, x_{2}, x_{3} geq 0}end{array}
ight.
]
Matlab程序
F= [2;3;1];
A = [1,4,2;3,2,0];
B = [8;6];
LB = zeros(3,1);
[X,FVAL] = linprog(F,-A,-B,[],[],LB,[])
运行结果
Optimization terminated.
X =
0.8066
1.7900
0.0166
FVAL =
7.0000