整数线性规划问题的基本内容
整数线性规划解决的是自变量在一定的线性约束条件下，使得线性目标函数求得最大值或者最小值的问题。其中自变量只能取整数。特别地，当自变量只能取0或者1时，称之为 0-1 整数规划问题。
当目标函数为最小值时，上述问题可以写成如下形式：
[min z=mathbf{F}^{T}mathbf{X}
]
[ ext { s.t. }
left{egin{array}{l}
{mathbf{A}mathbf{X} leqslant mathbf{B}}
\ {mathbf{A}_{mathrm{eq}} mathbf{X}=mathbf{B}_{mathrm{eq}}}
\ {mathbf{LB} leqslant mathbf{X} leqslant mathbf{UB}}
\mathbf{X} ext{取整数}
end{array}
ight.
]
其中
(F)线性目标函数系数向量
(mathbf{X}) 为决策变量向量
(mathbf{A}) 为线性不等式系数矩阵
(mathbf{B}) 为线性不等式右端常数向量
(mathbf{A}_mathrm{eq}) 为线性等式系数矩阵
(mathbf{B}_mathrm{eq}) 为线性等式右端常数向量
(mathbf{L B}) 为决策变量下界向量
(mathbf{U B}) 为决策变量上界向量
Matlab模型代码
调用形式
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] = intlinprog(F,intcon,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) % 统一形式
输入变量
- F为目标函数系数向量
- intcon为整数变量的地址
- A 为不等式约束系数矩阵(注意默认不等式方向为小于等于，若为大于等于，需要将其取相反数)
- B 为不等式右端常数向量(注意默认不等式方向为小于等于，若为大于等于，需要将其取相反数)
- Aeq 为等式约束系数矩阵
- Beq 为等式右端常数向量
- LB 为决策变量下界向量
- UB为决策变量上界向量
在调用时，输入参数不存在时，可以将其输入用 [] 空矩阵表示。
输出变量
- X 为最优解
- FVAL 为最优目标值
- EXITFLAG 为运行结束标志，当等于1时，表示程序收敛于解 X；当等于0时，表示程序运行次数到达最大；当小于0时，说明情况较多
- OUTPUT 为程序迭代次数
- LAMBDA 为解X相关的Largrange乘子和影子价格
案例演示
目标函数与约束条件
[min z=-3 x_{1}-2 x_{2}-x_{3}$$ $$ ext { s. t. }left{egin{array}{l}{x_{1}+x_{2}+x_{3} leq 7} \ {4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=12} \ {x_{1}, x_{2} geqslant 0} \ {x_{3}=0 ext{ or }1}end{array}
ight.
]
Matlab程序
clc,clear
f = [-3;-2;-1];
intcon = 3; % 整数变量的地址
A = ones(1,3);
B = 7;
Aeq = [4,2,1];
Beq = 12;
LB = zeros(3,1);
UB = [inf;inf;1]; % 只有x(3)取0或者1
[x,fval]= intlinprog(f,intcon,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)
运行结果
x =
0
5.5000
1.0000
fval =
-12.0000