随机事件与概率定义及公式整理

1、随机事件与样本空间及关系和运算

1.1、样本空间

样本空间 (Omega) : E 的所有可能结果为元素构成的集合

样本点 : (Omega) 中的元素，即试验的一个基本结果

其中，试验的特征为：

• 试验可以在相同的条件下重复进行
• 试验的结果可能不止一个，但试验前知道所有可能的全部结果
• 在每次试验前无法确定会出现哪个结果具有上述特征的试验称为 随机试验，简称 试验

1.2、随机事件

样本空间 (Omega) 的子集称为 随机事件，简称为 事件

随机试验的数学描述：

• 试验 E 的全部结果(其中是基本结果的集合) (Leftrightarrow) 样本空间 (Omega) (其中是样本点的集合)

• 随机事件 (Leftrightarrow) (Omega) 中的子集 A

• 事件 A 发生 (Leftrightarrow) A中样本点出现

基本事件：由一个样本点构成的单点集 { ({omega}) }

必然事件：(Omega(Omega subset Omega))

不可能事件：(empty(空集empty subset Omega))

1.3、事件的关系与运算

• 1、(A subset B) (Leftrightarrow) A 发生必导致 B 发生. 特别有 A = B (Leftrightarrow) (A subset B, B subset A)

  

• 2、(A cup B = { omega in A or omega in B }) (Leftrightarrow) A 发生或 B 发生，即 A，B 至少有一个发生，称为事件 A，B 的 和
  

• 3、(A cap B = { omega in A, omega in B }) (Leftrightarrow) A，B 同时发生称为事件 A，B 的 积

  

  类似地可定义 n 个事件的积：

  [igcap^{n}_{i = 1} A_i = { omega | omega in A_i, i = 1, 2,..., n } ]

• 4、(A - B = { omega | omega in A, omega otin B }) (Leftrightarrow) A 发生 B 不发生称为事件 A，B 的差

  

• 5、若 (A cap B = empty)，则称 A，B 互不相容（互斥），即 A，B 不能同时发生

  

• 6、若 (A cup B = Omega) 且 (A cap B = empty)，则称 A，B 互为 逆事件 或称为 对立事件，记为

  [A = Omega - B = ar{B}, B = Omega - A = ar{A} ]

  

1.4、事件的运算定律

2、频率与概率

事件域

设 (Omega) 为样本空间，F 是由 (Omega) 的子集组成的集合类，若 F 满足一下三点，则称 F 为 事件域

1. (Omega in F);
2. 若 (A in F)，则 (ar{A} in F)
3. 若 (A_n in F, n = 1, 2, ... ,) 则 $$igcup^{+ infty}_{n = 1} in F$$

2.1、频率(并由此导出概率的统计定义)

定义：记 (f_n(A) = displaystyle{frac{n_A}{n}})；其中 (n_A)——A 发生的次数(频数)；n——总试验次数。称 (f_n(A)) 为 A 在这 n 次试验中发生的频率。

性质：

• (0 leq f_n(A) leq 1)
• (f_n(Omega) = 1)
• 若 (A_1, A_2, ..., A_k) 两两互不相容，则

[f_n(igcup^{k}_{i = 1}A_i) = sum^{k}_{i = 1}f_n(A_i) ]

且 (f_n(A)) 随 n 的增大逐渐稳定，记稳定值为 p.

这种性质称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性。

频率稳定值 即概率的统计定义。

2.2、概率的公理化定义

2.2.1、公理

• 非负性公理： (P(A) geq 0);
• 正则性公理： (P(Omega) = 1);
• 可列可加性公理： 若 (A_1, A_2, ......, A_n......) 互不相容，则

[PBig (igcup^{infty}_{i = 1}A_i Big ) = sum^{infty}_{i = 1}P(A_i) ]

注：不互斥就是相容，相容，根据字面意思，就是互相有包容的意思，就是有交集。

2.2.2、性质

1. (P(empty) = 0)

2. 有限可加性

   [P(A_1 cup A_2 cup ... cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_k) ]

   其中，(A_1, A_2 ... A_k) 两两互不相容

3. 如果 (A subset B)，则

[P(B - A) = P(B) - P(A) ]

[P(A) leq P(B) ]

4. (forall A subset Omega, 0 leq P(A) leq 1)
5. (forall A subset Omega, P(ar{A}) = 1 - P(A))
6. (加法公式) (P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)) (注意：(A cup B = A cup (B - AB))，不要因为东西多而犯迷糊了)     推广：

[P(A_1 cup A_2 cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1A_2) - P(A_2A_3) - P(A_1A_3) + P(A_1A_2A_3) ]

[P(A_1 cup A_2 cup ... A_n) = sum^{n}_{i = 1} - sum_{1 leq i leq j leq n}P(A_iA_j) + sum_{1 leq i leq j leq k leq n}P(A_iA_jA_k) + ... + (-1)^{n - 1}P(A_1A_2...A_n) ]

3、等可能概型(古典概型)

3.1、定义

具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，

1. 有限性   试验的样本空间中的元素只有有限个；
2. 等可能性   每个基本事件的发生的可能性相同。

等可能概型也称古典概型。

3.2、计算公式

1. (Omega = { {omega}_1, {omega}_2, ..., {omega}_n }) 且 (P({omega}_1) = P({omega}_2) = ... = P({omega}_n))

[ herefore P(Omega) = P({ {omega}_1 } cup { {omega}_2 } cup ... cup { {omega}_n }) = P({ {omega}_1 }) + P({ {omega}_2 }) + ... + P({ {omega}_n }) = nP({ {omega}_i }) ]

[ herefore P({ e_i }) = frac{1}{n} qquad i = 1,2,...,n ]

2. 若事件 A 包含 k 个基本事件，即

[A = { e_{i1}, e_{i2}, ..., e_{ik} } = { {e_{i1}} } cup { {e_{i2}} } cup ... cup { {e_{ik}} } ]

其中 ((i_1, i_2, ... i_k 表示 1, 2, ..., n 中的 k 个不同的数))

则有 (P(A) = displaystyle{frac{k}{n}} = displaystyle{frac{A 包含的基本事件数}{Omega 中基本事件的总数}})

3.3、计算方法

1. 构造 A 和 (Omega) 的样本点(当样本空间 (Omega) 的元素较少时，先一一列出 (Omega) 和 A 中的元素，直接利用 (P(A) = displaystyle{frac{k}{n}}) 求解)
2. 用 排列组合 方法求 A 和 (Omega) 的样本点个数

预备知识：

Ⅰ. 加法原理：完成一项工作 m 类方法，第 i 类方法有 (n_i) 种(i = 1, 2, ..., m)，则完成这项工作共有：(n_1 + n_2 + ... + n_m) 种方法。

Ⅱ. 乘法原理：完成一个工作有 m 个步骤，第 i 步有 (n_i) 种方法(i= 1, 2, ..., m)，则完成该项工作一共有：(n_1n_2...n_m) 种方法。

Ⅲ. 排列：从 n 个元素中取出 r 个元素，按一定顺序排成一列，称为从 n 个元素里取出 r 个元素的排列。(n, r 均为整数)
① (无放回选取) 从 n 个不同的元素中无放回地取出 m 个((m leq n)) 进行排列，共有 (P^{m}_{n} = n(n - 1)...(n - m + 1) = displaystyle{frac{n!}{(n - m)!}}) 种方法。当 (m = n, P^{n}_{n} = n!)，这叫全排列。
② (有放回选取) 从 n 个不同元素中有放回地抽取 r 个，依次排成一列，称为可重复排列，一共有 (n^r) 种方法。

Ⅳ. 组合：从 n 个元素中无放回取出 r 个元素，不考虑其顺序，组合数为

[C^{r}_{n} = displaystyle{frac{p^{r}_{n}}{r!}} = displaystyle{frac{n!}{(n - r)!r!}}, C^{r}_{n} = C^{n - r}_{n} ]