计算式
[S(n,m)=S(n-1,m-1)+mS(n,m)
]
(S(0,0)=1，S(i,0)=0(i>0))
组合意义
将(n)个可以分辨的小球放入(m)个不可分辨的盒子中，且每个盒子非空
那么上面的式子就类似与(dp)的转移了
性质
1、(S(n,m)=frac{1}{m!}sum_{i=0}^m(-1)^idbinom{m}{i}(m-i)^n)
证明：考虑组合意义
先将盒子变成有序，最后除以(m!)即可
第二类斯特林数保障每个盒子非空，故考虑容斥，每次钦定(i)个盒子必须为空，选法有(dbinom{m}{i})种，(n)个小球放入剩下的((m-i))个盒子中共有((m-i)^n)种放法
2、(n^m=sum_{i=0}^mS(m,i)*i!*dbinom{n}{i})
证明：依然是考虑组合意义，左边是(m)个小球随意的放入(n)个盒子的方案数，并且考虑顺序
右边是枚举非空的盒子一共有(i)个，球放入的方案数为(S(m,i))，有顺序的选(i)个盒子有(i!*dbinom{n}{i})种方案
关于这个式子还有一个小技巧：为了使(S(m,i))和(dbinom{n}{i})的值均大于(0)，一定有(ileq min(n,m))，所以我们枚举的sigma上界是可以根据我们的需求进行变化的
求解第二类斯特林数
求(S(n,m))的值
普通求解是(O(n^2))的递推，考虑其他的方法
由性质1的式子变形可以得到
[S(n,m)=frac{1}{m!}sum_{i=0}^m(-1)^ifrac{m!}{k!(m-k)!}(m-k)^n
]
[S(n,m)=sum_{i=0}^nfrac{(-1)^k}{k!}frac{(m-k)^n}{(m-k)!}
]
直接FFT即可，时间复杂度(O(nlogn))