群 子群 陪集

一 群、子群、陪集

实数集R上定义两种运算:

• (+): (R imes R ightarrow R)（加法）
• (*): (R imes R ightarrow R)（乘法）

满足 (R) 在 (+) 运算下是 阿贝尔群 (交换群)，和 (R - {0} = R^{*}) 在 (*) 运算下也是 阿贝尔群。回顾一些阿贝尔群的定义。

定义2.1. 群 是具有二元运算 ((cdot)) 的一个集合 (G)

(cdot) : (G imes G ightarrow G)，(forall a, b in G) 元素 (acdot b in G)

该运算 (cdot) 具有以下性质:

1. (cdot) 是结合的
2. 有一个恒等元 (e in G)
3. (G) 中的每个元素是可逆的。

更明确地说，这意味着 (forall a, b, c in G) 满足下面性质：

• (G1): (a cdot (b cdot c) = (a cdot b) cdot c) (结合性)

• (G2): (a cdot e = e cdot a = a) (同一性，具有幺元)

• (G3): (forall a in G, exists a^{-1} in G) 使得 (a imes a^{-1} = a^{-1} imes a = e) (存在逆元)

如果一个群满足 (forall a, b in G, a cdot b = b cdot a) ，则该群是 阿贝尔群（交换群）

如果一个集合 (M) 定义了一个运算 (cdotp) : (M imes M ightarrow M) 但是这个运算只满足性质 (G1) 也就是，该运算是 可结合 的，则 (M) 是定义在运算 ((cdotp)) 上的 半群

如果半群 (<M,cdot>) 存在 幺元，就称为其为 独异点。

例如，自然数集合 (N={0,1,cdots, n, cdots}) 在加法下是一个（可交换的）独异点。但是，他不是一个群。

下面给出一些群的例子

例2.1

1. 自然数集合 (Z = {cdots, -n, cdots, -1, 0, 1 cdots, n, cdots}) 是一个定义在加法运算下的阿贝尔群，幺元(单位元素)为 (0)。但是 (Z^{*} - Z - {0}) 在乘法下不是一个群。

2. 有理数集合 (Q) （(p,q in Z land q e 0, frac{p}{q}in Q)）是一个定义在 加法（addition）下的阿贝尔群，幺元为0；集合 (Q^{*} = Q-{0}) 也是一个阿贝尔群，且是定义在 乘法 （multiplication）下，幺元为 (1)

3. 给定一个非空集合 (S) ；双射 (f:S ightarrow S) 的集合（也叫 (S) 的一个 排列），是一个定义在 函数组合（例如，(f) 和 (G) 的方法是组合 (g circ f)）下的一个群，幺元为恒等函数 (id_S) 。只要 (S) 有两个以上的元素这个群就不是 交换群。集合 (S={1, cdots, n}) 的 排列 常记为 (Sn)，称为 (n) 个元素上的对称群

4. 对任意的正整数 (p in N) ，定义在 (Z) 上一个关系，表示 (m equiv n quad (mod quad p)) 如下所示

   (m equiv n quad (mode quad p)) , 当且仅当(iff), (exists k in Z) 使得 (m-n=kp)

   可以很容易地检查这是一个 等价 关系，而且，它在加法和乘法方面是兼容的。

   这意味着，如果 (m_1 equiv n_1 (mod p)) 且 (m_2 equiv n_2 (mod p)) ，则 (m_1 + m_2 equiv n_1+n_2 (mod p)) 且 (m_1m_2 equiv n_1n_2 (mod p)) 。

   因此，我们可以定义 等价类 集（(mod p)）的加法运算和乘法运算:

   [[m] + [n] = [m + n] ]

   和

   [[m] cdot [n] = [mn] ]

   很容易地检查 剩余类（(mod p)） 的加法是导致 ([0]) 为零的阿贝尔群结构。该群表示为 (frac{Z}{pZ}) 。

5. 具有实（或 复）系数 的 (n imes n) 可逆矩阵 集是 矩阵乘法 下的一个 群，其 幺元为单位矩阵(E)(((I_n)))。

   这个群称为一般 线性群，通常用 (GL(n,R)) (或 (GL(n,C)))表示。

6. 具有实数（或复数）系数的 (n imes n) 可逆矩阵 (A) 的集合使得 (det(A)=1) 是 矩阵乘法 下的一个 群，幺元为单位矩阵。

   这个群称为 特殊线性群，通常用 (SL(n, R)) (或 (SL(n,C)))表示。

7. 具有 实系数 的 (n imes n) 矩阵 (Q) 的集合，使得

   [Q^{T}Q=I_n ]

   是在矩阵乘法下的一个群。幺元为单位矩阵；我们有 (Q^{-1} = Q^{T})。

   这组叫做 正交群 ，通常用 (O(n)) 表示

8. 具有 实数系数 的 (n imes n) 可逆矩阵 (Q) 的集合，使得

   [QQ^{T}=Q^{T}Q=I_n land quad det(Q) = 1 ]

   是在矩阵乘法下的一个群。幺元为单位矩阵；如(6)，我们有(Q^{−1}=Q^{T})。

   这种群称为 特殊正交群 或 旋转群，通常用 (SO(n)) 表示。

当 (n ge 2) 时，((5)-(8)) 中的群是 非阿贝尔群，除了 (SO(2)) 是阿贝尔群(但 (O(2)) 不是阿贝尔群)。

习惯上用 (+) 表示交换群 (G) 的运算，在这种情况下，元素 (a in G) 的逆 (a^{-1}) 用 (-a) 表示。

群的 单位元素(幺元)是 唯一的。事实上，我们可以证明一个 更普遍 的事实:

命题2.1 : 如果一个二元运算 (cdotp : M imes M ightarrow M) 是结合的，如果 (e^{'} in M) 是左单位元素（左幺元），(e^{''} in M) 是右单位元素（右幺元），即

[forall a in M, e^{'}cdot a = a ]

和

[forall a in M, a cdot e^{''} = a ]

则 (e^{'} = e^{''})

命题 2.2 暗示了一个 单类 的 单位元素是唯一的 ，由于每个 群都是一个单类 ，所以 群的单位元素是唯一的 。而且，群中的 每个元素都有唯一的逆。这是一个更普遍的事实的结果:

命题2.2: 在一个存在幺元 (e) 的独异点 (M) 中，(exists a in M) 有 左逆元 (a^{'}in M) 和 右逆元 (a^{''} in M) ，这意味着

[a^{'}cdot a = e qquad (G3l) ]

和

[a cdot a^{''} = e qquad (G3r) ]

则 (a^{'} = a^{''})。

定义2.2 : 如果一群 (G) 有 有限数目 的 (n) 个元素，我们说 (G) 是一个 (n) 阶元素的群。如果 (G) 是无限的，我们说 (G) 有无限阶。群的 阶 通常用 (|G|) 表示(如果 (G) 是有限的)。

给定一个群 (G)，对任意的两个子集 (R,S subseteq G) ，设

[RS={rcdot s |r in R,sin S } ]

特别的。(forall g in G), 如果 (R={g}) ，则

[gS = {gcdot s | s in S} ]

同理，如果 (S={g}), 则

[Rg= {rcdot g | r in R} ]

从现在开始，我们将去掉乘法号，将 (g1·g2) 写成 (g1g2)

定义2.3 设 (G) 是一个群。对于任意的 (gin G)，定义 (L_g), 对于所有(ain G)，有 (L_g(a) = ga), 即是 (g) 的左平移。同理定义了 (R_g), 对于所有 (ain G), 有 (R_g(a) = ag), 既是 (g) 的右平移

命题2.3 给定一个群 (G), 平移 (L_g) 和 (R_g) 都是双射

定义2.4 给定一个群 (G)，(G) 的一个子集 (H)，当且仅当

• ((1)) (G) 的幺元 (e) 也属于 (H) （(e in H)）
• ((2)) (forall h_1,h_2 in H)，则 (h_1h_2in H)
• ((3)) (forall h in H), 则 (h^{-1} in H)

则 (H) 是 (G) 的子群。

命题2.4 给定一个 群 (G) , (H subseteq G)且 (H e Phi)，使的 (H) 是 (G) 的 子群，当且仅当 (forall h_1, h_2 in H) 有 (h_1h_2^{-1} in H)

---

如果群 (G) 是 有限 的，则可以使用以下准则

命题2.5 给定一个有限群 (G)，(H subseteq G)，使得 (H) 是 (G) 的 子群，当且仅当

• ((1)) (e in H) (幺元在 (H) 中)
• ((2)) (H) 在乘法下是 封闭 的

例子 2.2

1. (forall n in Z)，集合 $$nZ={nk|kin Z}$$ 是 (Z) 的一个子群

2. 矩阵集合 $$GL^{+}(n, R) = {Ain GL(n,R) | det(A) gt 0}$$ 是群 (GL(n,R)) 的一个子群。

3. 群 (SL(n, R)) 是 群 (GL(n,R)) 的子群

4. 群 (O(n)) 是 群 (GL(n, R)) 的子群

5. 群 (SO(n)) 是群 (O(n)) 的子群，也是 群 (SL(n, R)) 的子群

6. 不难看出，每个 (2 imes 2) 旋转矩阵 (Rin SO(2)) 可以写成 $$R=egin{pmatrix} cos heta & - sin heta sin heta & cos heta end{pmatrix}, 0 le heta le 2pi .$$ 通过将矩阵 $$R=egin{pmatrix} cos heta & - sin heta sin heta & cos heta end{pmatrix}$$ 视为 矩阵 $$Q=egin{pmatrix} cos heta & - sin heta & 0 sin heta & cos heta & 0 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$$ 可以将 (SO(2)) 视为 (SO(3)) 的子群。

7. 形如 $$egin{pmatrix} a & b 0 & c end{pmatrix}, a, b, c in R, a,c e 0$$ 矩阵集合是群 (GL(2, R)) 的子群。

8. 由四个矩阵 $$egin{pmatrix} pm 1 & 0 0 & pm 1 end{pmatrix}$$ 组成的集合 (V) 是 群 (GL(2, R)) 的子群，称为 称为 克莱因四群

定义2.5 如果 (H) 是 群 (G) 的子群，且 (forall g in G)

(G) 中形如 (gH) 的集合称为 集合 (H) 的 左陪集；

(G) 中形如 (Hg) 的集合 称为 集合 (H) 的 右陪集。

在 (H) 左陪集（或右陪集）中 产生了一种等价关系 (sim) 定义如下: $$forall g_1,g_2 in G, g_1 sim g_2$$
当且仅当 $$g_1H = g_2H$$ (或者 (g_1 sim g_2) 当且仅当 (Hg_1 = Hg_2)) 。显然 (sim) 是一个等价关系。

命题2.6 给定一个群 (G) 和 (G) 的任意子群 (H)，则有 $$g_1H = g_2H$$ 当且仅当 (forall g_1, g_2 in G, g_2^{-1}g_1H = H)

命题2.7 对于任意有限群 (G) 和 (G) 的任意子群 (H), (H) 的阶 (h) ((h= |H|)) , (G) 的阶 (n) ((n=|G|))，我们有 (h|n)。

定义2.6 给定有限群 (G) 和 (G) 的子群 (H)，如果 (n=|G|) 和 (h=|H|)，则 (frac{n}{h}) 的比值表示为 ((G:H)) ，称为 (H) 在 (G) 中的指数。

指数 ((G:H)) 是 (G) 中 (H) 的 左(和右)陪集的个数 命题2.7 可以表述为 $$|G|=(G:H)|H|$$

(G) 中 (H) 的 左集 (一般不是一个群)记作 (G/H)。(G/H) 的“点”是通过将一个陪集中的所有元素“坍缩”成一个元素而得到的。

例子 2.3

1. 取任意正整数，并考虑 (Z) 的子群 (nZ) (在加法下)。(0) 的陪集是集合 ({0})，任意非零整数 (m in Z) 的陪集是 $$m + nZ = {m+nk|kin Z}。$$ 通过 (m) 除以 (n) 我们有 (m=nq+r，0 le r le n-1 且 r唯一) 。然后我们得到 (r) 是陪集 (m+nZ) 中最小的正元素。这意味着在 (Z) 的子群 (nZ) 的陪集和 模 (n) 的 余数 集 ({0, 1, cdots , n-1}) 上存在一个 双射 ，或与 (Z/nZ) 等价的双射。

通过 ((g_1H)(g_2H) = (g_1g_2)H) 来定义 左陪集（或 右陪集）上的 乘法 运算是很有诱惑力的。但是这个运算一般没有很好的定义，除非子群 (H) 具有一个特殊的性质。上述 例子2.3 中的 (1) 是可以定义这样的运算。

子群 (H) 允许在 左陪集 上定义乘法运算的性质是 群同态 核的典型性质

定义2.7 给定两个群 (G) 和 (G^{'}) ，函数 (phi: G ightarrow G^{'}) 当且仅当 $$phi(g_1g_2)=phi(g_1)phi(g_2), forall g_1, g_2 in G$$ 称为 同态

考虑 (g_1=g_2=e, g_1,g_2in G), 我们得到 $$phi(e) = e^{'}$$ 考虑 (g_1=g, g_2=g^{-1}), 我们得到 (phi(g^{-1}) = (phi(g))^{-1})。

定义2.8 如果 (phi: G ightarrow G^{'}) 是一个 群同态，如果 (Hsubseteq G) 是 (G) 的一个子群，也是 (G^{'}) 的子群，称 $$Im H = phi(H) = {phi(g)| g in H}$$ 称为 (H) 在 (phi) 小的 像 （值域），以及 (G) 的子群， $$Ker phi = {g in G | phi(g) = e^{'}}$$ 称为 (phi) 的 核

命题2.8 如果 (phi: G ightarrow G^{'}) 是 群同态，当且仅当 (Ker phi={e}) 时， (phi:G ightarrow G^{'}) 是 单射

定义2.9 如果有一个群同态 (psi: G^{'} ightarrow G) ，我们称群同态 (phi:G ightarrow G^{'}) 时一个 同构。因此 $$psi circ phi = id_G 和 phi circ psi = id_{G^{'}}$$
如果 (phi) 是 同构 的，则称 (G) 和 (G^{'}) 是同构的。当 (G^{'} = G) 时，群同构 称为 自同构。

如果一个 群同态 (phi:G ightarrow G^{'}) 是 同构，则 (psi:G^{'} ightarrow G) 满足唯一的条件是 $$psi circ phi = id_G 和 phi circ psi = id_{G^{'}}。$$ 这样的 同态 表示为 (ϕ^{-1})

左平移 (L_g) 和右平移 (R_g) 是 (G) 的 自同构

假设 (phi: G ightarrow G^{'}) 时双射同构，设 (phi^{-1}) 是 (phi) 的逆 (类似与反函数)。 (forall a, bin G) ，我们有 $$phi(phi^{-1}(a) phi^{-1}(b)) = phi(phi^{{-1}(a))phi(phi}{-1}(b))$$ 因此， $$phi^{-1}(ab)=phi{-1}(a)phi^{-1}(b)$$ 这样就证明了 (phi^{-1}) 是同态的。

命题2.9 双射群同态 (phi:G ightarrow G^{'}) 是一个同构。遵守这样的一个性质

[gH=Hg, forall g in G qquad qquad qquad(*) ]

等价于两边乘以 (g^{-1}) 得到

[gHg^{-1} = H, forall g in G ]

上面的式子等价于

[gHg^{-1} subseteq H, forall gin G qquad qquad qquad (**) ]

这是因为 (gHg^{-1} subseteq H) 意味着 (H subseteq g^{-1}Hg, forall g in G)

命题2.10 设 (phi: G ightarrow G^{'}) 是一个群同态，因为性质$ (*)$, 则 (H = Ker phi) 满足 性质 ((**))

定义2.10 设 群 (G) 的子群 (H) ，(forall a in G, aH=Ha) 则称 (H) 是 (G) 的 正规子群

等价定义 对于任意群 (G) , (G) 的子群 (N) 是 (G) 的 正规子群，当且仅当 $$gNg^{-1}=N, forall g in G$$ 记为 (N riangleleft G)

同态 (phi:G ightarrow G^{'}) 的核 (Ker phi) 是 (G) 的一个正规子群

如果 (G) 是 交换群 (阿贝尔群)，那么 (G) 的每个子群都是 正规 的。

如果 (N) 是 (G) 的 正规子群，则由 左陪集 引出的 等价关系 (sim) (见定义2.5)与由 右陪集 引出的 等价关系 相同 。而且，这个等价关系是 同余的。即 (forall g_1,g_2,g_1^{'}, g_2^{'} in G)

• ((1)) 如果 (g_1N=g_1^{'}N) 和 (g_2N=g_2^{'}N) ， 则 (g_1g_2N=g_1^{'}g_2^{'}N)
• ((2)) 如果 (g_1N=g_2N) ，则 (g_1^{-1}N=g_2^{-1}N)

因此，我们可以通过设 ((g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N) 在模态的等价类的集合 (G/sim) 上定义一个群结构。

定义2.11 设 (G) 是一个群， (N) 是 (G) 的正规子群。通过(左)陪集 乘法 $$(g_1N)(g_2N) = (g_1g_2)N, g_1, g_2 in G$$ 得到的 群 记为 (G/N)，称为 (N) 除 (G) 的商。 元素 (gin G) 的等价类 (gN) 也表示为 (overline{g}) 或 ([g]) 。 通过 (pi(g) = overline{g}=gN) 给出的映射 (pi: G ightarrow G/N) 是一个群同态，称为 正则投影

由于同态的核是正规子群。所以

命题2.11 给定 群同态 (phi : G ightarrow G^{'}) ，群 (G/Ker phi) 和 (Im phi = phi(G))是同构的 。（第一同构定理）

定义2.12 给定两个群 (G) 和 (H) ，设 (G imes H) 是 (G) 和 (H) 的笛卡尔积，由乘法运算 ((cdotp)) 通过 $$(g_1, h_1) cdot (g_2, h_2) = (g_1g_2, h_1,h_2)$$

马上就可以证明 (G imes H) 是一个群，称为 (G) 和 (H) 的 直接乘积

类似地，给定任意 (n) 个群 (G_1, cdots, G_n) ，我们可以用类似的方法定义直积 (G_1 imes cdots imes G_n) 。

如果 (G) 是一个 交换群，并且 (H_1, cdots, H_n) 是 (G) 的子群，映射 $$a:H_1 imes cdots, imes H_n ightarrow G$$ 可由 $$a(h_1,h_2,cdots, h_n)=h_1+h_2+cdots + h_n$$ 给出，使用 (+) 来表示群 (G) 上的运算。这很容易证明 (a) 是一个群同态，所以，它的像是群 (G) 的子群，表示为 (sum_{i=1}^{n}H_i) 。

命题2.12 给定一个 交换群 (G) ，如果 (H_1) 和 (H_2) 是 (G) 的任意 子群，使 (H_1 igcap H_2={0})，则映射 $$a:H_1 imes H_2 ightarrow H_1 + H_2$$ 是 同构的 。

在 命题2.12 的条件下，即 (H_1 igcap H_2={0}) ，则 群 (H_1 + H_2) 称为 (H_1) 与 (H_2) 的 直和; 表示为 (H_1 oplus H_2) ，我们有一个同构 (H_1 imes H_2 cong H1 oplus H2)