有关组合数学的小记，不喜勿喷
1.第一类斯特林数：表示将$ n$ 个不同元素构成(m)个圆排列的数目。
递推式：(s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1))。
递推式证明如下：
我们考虑第(n)个元素放的位置。
（1）前(n-1)个元素构成了(m-1)个圆排列，第(n)个元素独自构成一个圆排列:(s(n-1,m-1))
（2）前(n-1)个元素构成了(m)个圆排列，第(n)个元素插入到任意元素的左边:((n-1)*S(n-1,m))
综上：(s(n,m)=s(n-1,m-1)+s(n-1,m)*(n-1))。
对于第一类斯特林数我们有以下特点：
1.(s(n,n-2)=2*C(n,3)+3*C(n,4))
2.(s(n,n-1)=C(n,2))
3.(sum_{i=0}^{n}s(n,i)=n!)
2.第二类斯特林数：表示将(n)个不同的元素拆分成(m)个非空集合的方案数。
递推式：(S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m))。
同理，我们还是考虑第(n)个元素的放置情况。
（1）前(n-1)个元素构成了(m-1)个集合，那么第(n)个元素单独构成一个集合:(S(n-1,m-1))。
（2）前(n-1)个元素已经构成了(m)个集合，将第(n)个元素插入到任意一个集合:(m*S(n-1,m))。
综上：(S(n,m)=S(n-1,m-1)+S(n-1,m)*m)。
同时附上一个第二类斯特林数的容斥公式：(S(n,m)=frac{1}{m!}*sum_{i=0}^{m}{(-1)^i*C(m,i)*(m-i)^n})。
第二类斯特林数的实际意义
（1）n个不同的球，放入m个有区别的盒子,不允许盒子为空,方案数：(m!*S(n,m))。
（2）n个不同的球，放入m个无区别的盒子,允许盒子为空,方案数：(sum_{i=0}^{m}S(n,i))
PS:一个有趣的事实：(sum_{i=0}^{n}S(n,i)*s(i,m)=sum_{i=0}^{n}s(n,i)*S(i,m))。
3.卡特兰数
卡特兰数的实际意义和证明方法过多，笔者不再阐述，下面直接给出通项公式和递推公式。
(Cat_n=C(2*n,n)-C(2*n,n-1)=frac{C(2*n,n)}{n+1}=Cat_{n-1}*frac{4n-2}{n-1})。
常见意义：合法出栈方案数，二叉树方案数......
4.圆排列：表示从(n)个元素中选(m)个在圆周上构成不同的圆的方案数
通项公式：(frac{n!}{(n-m)!*m})
5.错位排列：(n)的相异的元素排成一排，第(i)个元素不在第(i)位上的方案数
通项公式：(D_n=(n-1)*(D_{n-1}+D_{n-2}))。
证明如下：
我们假设第(n)个数排在第(k)位上，其中(kin[1,n-1])。
（1）.当第(k)个数排在第(n)位时，除了第(n)个数和第(k)个数以外还有(n-2)个数，其方案数为(D_{n-2})。
（2）.当第(k)个数不排在第(n)位时，将第(n)位重新想成新的“第(k_1)位”，这时的包括第(k)个数在内的剩下(n-1)个数的每一种错排，方案数为(D_{n-1})。
由于，(kin[1,n-1])，所以(D_n=(n-1)*(D_{n-1}+D_{n-2}))。
附上一个容斥的公式：(D_n=n!*sum_{i=2}^{n}{(-1)^i*frac{1}{i!}})
6.隔板法
（1）.(n)个同样的小球分成(m)个不同的组别，每组不为空，方案数为：(C(n-1,m-1))。
（2）.(n)个同样的小球分成(m)个不同的组别，每组可以为空，方案数为：(C(n+m-1,m-1))。
先写到这了，以后有东西再补。。。。。