(Johnson)算法学习笔记。
在最短路的学习中，我们曾学习了三种最短路的算法，(Bellman-Ford)算法及其队列优化(SPFA)算法，(Dijkstra)算法。这些算法可以快速的求出单源最短路，即一个源点的最短路.
而(Floyd)算法，这个及其简短的算法，可以以(O(n^3))的复杂度算出任意一对点之间的最短路。
我们发现，(floyd)算法的时间复杂度和边的数量没有多大的关系，也就是说，(floyd)使用的最优条件是稠密图。
那么问题来了，如果我们面对一个点数非常多但是边数较少的图，我们该用什么算法呢？
(johnson)出现了。
(johnson)算法是一类用来处理多源最短路的算法，它的复杂度是(O(n*m*log_n))。
简单的来说，(johnson)算法是糅合的两大单源最短路算法的算法。
(dijkstra)算法在算法界是一个公认非常好用的算法，只可惜其限制条件过多，必须没用负边才可以使用。
而(SPFA)就没有那么多限制了，它只用保证数据中不会出现负环即可，可是由于(spfa)算法及其不稳定，及其容易被卡成(O(n*m))的复杂度。
(johnson)算法就利用了两大算法的优点。
首先(johnson)先利用(SPFA)将所有的边处理一下，将负边权全都转成正边权。
然后再每个点暴力跑(dijkatra)求出最短路。
第二步利用(dijkstra)跑最短路是十分显然好懂的，问题就是第一步将负边改为正边。
我们知道，直接将所有的负边加上一个极大值是错误的，我们要给所有的边加上一个合适的值。
那么这个值是什么呢？
我们先增加一个超级源，把所有点和它相连即可。
然后，我们来以超级源为源点跑一遍(spfa)。
然后我们对于每一条边加上(spaf)跑完后的(dis[0][u]-dis[0][v])。
最后，把所有的(dis[u][v])减去(dis[0][u]-dis[u][v])还原。
让我们来证明其正确性：
1.边权不为负数。
由于(dis[0][u]+w(u,v)>=dis[0][j])；
所以必有(dis[0][u]-dis[0][j]+w(u,v)>=0)。
所以边权必定大于等于(0)，可以用(dijkstra)跑。
2.还原的正确性。
我们有一条集合为({A_1,A_2,A_3,,,,A_p})的最短路。
我们对边权进行修改后，最短路改变的值为:(dis[0][A_1]-dis[0][A_2]+dis[0][A_2]-...-dis[0][A_p])。
即：(dis[0][A_1]-dis[0][A_p])。
所以，当我们修改一些权值时，任意两点之间的最短路改变的值是一个定值，即(dis[0][u]-dis[v])，
在最后的(dis[u][v])上减掉即可。