gcd题目

样例有误 应该输出 0 1000000006

刚看到这个题，一脸懵逼。

打个表

观察一下

发现，除了做一次gcd时，如果做 t 次gcd，那么和最小的 a 和 b 分别是斐波那契数列的f[t+1]和f[t+2]。由于k很大，用矩阵快速幂即可。
而做一次就是 1 1（需要特判）

打表程序

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
int gcd(int a,int b,int t)
{
    if(a>b) swap(a,b);
    if(a==0) return t;
    return gcd(b%a,a,t+1);
}
int main()
{
    int p=1;
    while(p<=1000)
    {
        int f=0;
        for(int i=1;i<=1000000;i++)
        {
            for(int j=1;j<=1000000;j++)
            {
                if(gcd(i,j,0)==p)
                printf("%d %d 做%d次gcd
",i,j,p),f=1;
                if(f) break;
            } 
            if(f==1) {p++;break;}
        }
    }
    return 0; 
}

题目代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#define LL long long
#define MOD 1000000007
using namespace std;
LL A[3][3]={0,0,0,
             0,0,1,
             0,1,1,};
LL k,ans;
LL f[3][3],bak[3][3];
void Fast_Pow(LL p)
{
    while(p)
    {
        if(p%2) 
        {
            for(int i=1;i<=2;i++)
            for(int j=1;j<=2;j++)
            bak[i][j]=f[i][j],f[i][j]=0;

            for(int i=1;i<=2;i++)
            for(int j=1;j<=2;j++)
            for(int k=1;k<=2;k++)
            (f[i][j]+=(bak[i][k]*A[k][j])%MOD)%=MOD;
        }
        for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
        bak[i][j]=A[i][j],A[i][j]=0;

        for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
        for(int k=1;k<=2;k++)
        (A[i][j]+=(bak[i][k]*bak[k][j])%MOD)%=MOD;
        p/=2;
    }
    printf("%lld %lld
",f[1][1],f[1][2]);
}
int main()
{
    freopen("gcd.in","r",stdin);
    freopen("gcd.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&k);
    f[1][1]=1,f[1][2]=1;
    if(k==1) printf("1 1
");
    else Fast_Pow(k);
    return 0;
}

证明是这样的：
①如果有一步辗转相除 (a,b) → (b,a − k ∗ b),k > 1，一定
能找到更优的 (b + a mod b,b) （这是最优），即本题只考虑辗转相减
②如果一系列得到数对 (0,t),t > 1，一定对应一个结束在
(0,1)（这是最优） 的更优解