• 直线型一阶倒立摆3---控制器设计


    四、控制器设计

           如前文所述,倒立摆状态空间方程表明系统能够被控制、被观测。倒立摆或者其它受控系统达到受控稳定状态,其实质上是指系统的各状态量收敛至一目标稳定值。对于状态空间描述而言,系统矩阵A的特征值为负数,对传递函数而言其特征值在复数平面的左半平面系统状态收敛。因此,设计系统控制器,其本质上是对系统极点进行从新配置。理论上,系统矩阵特征值越远离左半平面,收敛速度越快。但实际上,系统状态收敛速度受到外在物理条件限制。

                 1.系统矩阵极点配置                                                                                                                                                                                                                                   系统极点配置就是对输入变量u'进行设计,故假设u'=r-KX。其中K=[k1 k2 k3 k4]。化简之后系统 矩阵变为(A-BK),其中BK为对原状态矩阵A进行配置的反馈量。计算det(sI-(A-BK))=0得到加入控制律之后的特征值方程,将特征值方程因式分解,根据实际需求配置合适的极点即可。   适用于低阶(二阶、三阶)状态方程极点配置。

         A-BK=egin{bmatrix} 0&1 &0 &0 \ -k1 & -k2 &-k3 &-k4 \ 0& 0 &0 &1 \ -frac{3}{4l}k1 &-frac{3}{4l}k2 & -frac{9g}{16l^{2}}k3 &-frac{3}{4l}k4 end{bmatrix}               (15)       

             高阶状态方程极点配置可使用线性代数解法。                                                                                  

              2.传递函数描述下的控制器设计

                   传递函数描述下,需要考虑摆杆起摆的过程,在考虑摆杆镇定问题。以下,先介绍摆杆镇定问题。

                    在传递函数描述下,常用的控制器是比例-积分-微分组成的控制器或称为PID控制器。由于传递函数只能描述一对输入输出关系,因此,最简单的控制结构就是一个PID控制器。倒立摆模型有四个状态量需要控制,分别为小车位置、小车速度、摆杆角度、摆杆角速度。其中,小车速度量引起摆杆状态变化,小车位置不起直接控制作用。因此,可以先考虑控制小车速度、摆杆角度、摆杆角速度。

                    对于这三个状态量,可以采用串级PID进行控制,再采用负反馈进行反馈控制。其串级PID控制框图可以表述为

        第一个PID控制器对小车速度进行控制,目标值为0m/s、第二个PID控制器对摆杆角速度进行控制,目标值为0rad/s、第三个PID控制器对摆杆角度进行控制,目标值为0°。三个状态量对应有三个负反馈环节。当其中某一个目标值未达到预期范围时,控制器调节过程不会停止。

                 串级PID控制器仿真:略

    其它博文链接:直线型一阶倒立摆1---概念篇

                             直线型一阶倒立摆2---建模

     有需要直线型一阶倒立摆的VREP仿真文件:可点击                             

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