• Codeforces 615D Multipliers (数论)


    题目链接 Multipliers

    题意很明确。

    很显然答案可以表示成X ^ EXP % MOD

    首先我们令N为输入的n个数的乘积。并且设N = (P1 ^ C1) * (P2 ^ C2) * ... * (Pk * Ck),Pi(1 <= i <= k)为质数。

    1、N为完全平方数。

       这个时候X = N的算术平方根,EXP = (C1 +1) * (C2 + 1) * ... * (Ck + 1), MOD = 1e9 + 7;

    2、N不是完全平方数。

       这个时候X = N, EXP = (C1 +1) * (C2 + 1) * ... * (Ck + 1) / 2, MOD = 1e9 + 7;

    考虑到EXP可能非常大,这里我用了指数循环节公式:

     a^b%c = a^( b%phic+phic )%c phix为欧拉函数。

    而在题中c等于1e9 + 7为质数,那么phic = 1e9 + 6。

    剩下的事情就很简单了。

     1 #include <bits/stdc++.h>
     2 
     3 using namespace std;
     4 
     5 #define rep(i, a, b)  for(int i(a); i <= (b); ++i)
     6 #define LL            long long
     7 
     8 const int N     =    200010;
     9 const LL mod    =    1000000007;
    10 
    11 int prime[N];
    12 int c[N], d[N];
    13 bool fl;
    14 int cnt = 0;
    15 int n, x;
    16 int squ;
    17 
    18 map <int, int> mp;
    19 
    20 
    21 inline LL Pow(LL a, LL b, LL Mod){ 
    22     LL ret(1); 
    23     for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= Mod) 
    24         if (b & 1) (ret *= a) %= Mod; 
    25     return ret;
    26 }    
    27 
    28 
    29 int main(){
    30 
    31     rep(i, 2, 200000){
    32         fl = true;
    33         rep(j, 2, (int)sqrt(i + 0.5)) if (i % j == 0){
    34             fl = false;
    35             break;
    36         }
    37         if (fl){
    38             prime[++cnt] = i;
    39             mp[prime[cnt]] = cnt;
    40         }
    41     }
    42 
    43     memset(c, 0, sizeof c);
    44 
    45     scanf("%d", &n);
    46     rep(i, 1, n){
    47         scanf("%d", &x);
    48         ++c[mp[x]];
    49     }
    50 
    51     squ = 1;
    52     rep(i, 1, cnt)
    53         if (c[i]){
    54             if (c[i] & 1){
    55                 squ = 0;
    56                 break;
    57             }
    58         }
    59         
    60 
    61     LL exp = 1;
    62     if (squ){
    63         LL ret = 1;
    64         rep(i, 1, cnt) d[i] = c[i] / 2;
    65         rep(i, 1, cnt) ++c[i];
    66         rep(i, 1, cnt) (exp *= c[i]) %= (mod - 1);
    67 
    68         rep(i, 1, cnt) if (d[i]) (ret *= Pow(prime[i], d[i], mod)) %= mod;
    69 
    70         printf("%lld
    ", Pow(ret, exp + mod - 1, mod));    
    71     }
    72 
    73     else
    74     {
    75         rep(i, 1, cnt) d[i] = c[i] + 1;
    76         rep(i, 1, cnt) if (d[i] % 2 == 0){
    77             d[i] >>= 1;
    78             break;
    79         }
    80 
    81         LL exp = 1;
    82         rep(i, 1, cnt) (exp *= d[i]) %= (mod - 1);
    83         LL ret = 1;
    84         rep(i, 1, cnt) if (c[i]) (ret *= Pow(prime[i], c[i], mod)) %= mod;
    85         
    86         printf("%lld
    ", Pow(ret, exp + mod - 1, mod));
    87     }
    88     
    89 
    90     return 0;
    91 
    92 }
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