题解 P1641 【[SCOI2010]生成字符串】

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Solution [SCOI2010]生成字符串

题目大意:询问在(n)个(1)和(m)个(0)排列形成的字符串中，有多少个字符串任意前缀中(1)的个数不少于(0)的个数

卡特兰数

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看到题面很容易想到卡特兰数，这里用与之类似的证明思路

首先(n)个(1)，(m)个(0)组成的字符串有(C_{n + m}^{n})个（有(n+m)个位置，填了(n)个(1)自然(0)的位置就确定了）

我们减去不合法的字符串，存在任意前缀使得(0)数量大于(1)

假如有这种字符串的话，一定存在一个位置(2p+1 in [1,n+m])，使得前(2p+1)个数字里面有(p+1)个(0),(p)个(1)，那么后面有(n-p)个(1)，(m-p-1)个(0)，对后面取反有(n-p)个(0)，(m-p-1)个(1)，所以我们得到了有(n+1)个(0)，(m-1)个(1)的序列

同理，对于一个由(n+1)个(0)，(m-1)个(1)组成的序列，我们也可以用同样的方法得到有(n)个(1),(m)个(0)的序列

也就是说这两种序列构成一个双射，即不合法序列的数量就是由(n+1)个(0)，(m-1)个(1)组成的序列数量

所以答案(C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1})，直接暴力求就好了

#include <cstdio>
using namespace std;
const int mod = 20100403;
typedef long long ll;
inline ll fac(ll x){
	ll res = 1;
	for(ll i = 1;i <= x;i++)res = (res * i) % mod;
	return res;
}
inline ll qpow(ll a,ll b){
	a %= mod;
	ll base = a,res = 1;
	while(b){
		if(b & 1)res = (res * base) % mod;
		base = (base * base) % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
inline ll inv(ll x){return qpow(x,mod - 2);}
inline ll mul(ll a,ll b){return (a * b) % mod;}
inline ll C(ll n,ll m){return m > n ? 0 : mul(mul(fac(n),inv(fac(m))),inv(fac(n - m)));}
int n,m;
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	printf("%lld
",(C(n + m,n) - C(n + m,n + 1) + mod) % mod);
	return 0;
}