[BZOJ 1019][SHOI2008]汉诺塔（递推）

Description

汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，
大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

 

对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移
动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描
述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到
柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮
助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）
赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到
另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移
动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计
算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Solution

可以发现移动的次序是固定的

f[i][j]表示柱子i移动j个盘子全部到另一柱子上所需要的步骤数，g[i][j]表示移动到的柱子

设柱子i为x，g[x][j-1]为y，剩下的柱子为z

先把(j-1)个盘子全移到y上，此时的合法操作只能把第j个移到z上

如果g[y][j-1]==z直接把y上的j-1个盘子移到z上即可（全都移到了z上）

如果g[y][j-1]==x就把它们移到x上，将z移到y，再把它们移回y（全都移到了y上）

规则中的“所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子”保证了以上过程

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int n,g[5][35];
long long f[3][35];
char s[5];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<6;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        if(!g[s[0]-'A'+1][1])
        g[s[0]-'A'+1][1]=s[1]-'A'+1;
    }
    f[1][1]=1;f[2][1]=1;f[3][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=3;j++)
        {
            int x=j,y=g[x][i-1],z=6-x-y;
            f[x][i]=f[x][i-1]+1;
            if(g[y][i-1]==z)
            {
                f[x][i]+=f[y][i-1];
                g[x][i]=z;
            }
            else
            {
                f[x][i]+=f[y][i-1]+1+f[x][i-1];
                g[x][i]=y;
            }
        }
    }
    printf("%lld
",f[1][n]);
    return 0;
}