[agc011E]Increasing Numbers-[思考题]

Description

传送门

Solution

依题得所有不下降数（设为a）可以拆为若干个全1数的和（如：1558=1111+111+111+111+111+1+1+1）

并且任意a所能拆出的全一数的个数<=9。则我们设定a拆出9个全1数，其中允许有0的存在。（以下的a[i]可以为所有自然数）

（任一全1数可以表示为$frac{(10^{c}-1)}{9}$）

则$n=sum _{i=1}^{9k}frac{(10^{a[i]}-1)}{9}$

$9n=sum _{i=1}^{9k}(10^{a[i]}-1)$

$9n+9k=sum _{i=1}^{9k}10^{a[i]}$

由此可得，9n+9k这个数的每一位的和要<=9k。

我们要求最优的k。则针对数n，每次减掉一个不下降数，位数就会少1。

证明：假如在最优解中，要减x(x>1)个"不下降数"n的位数才会少1，这x个“不下降数”可以直接合并为1个“不下降数”，所以该解不是最优的，矛盾。

所以我们的k只要从1到n的位数枚举就可以了。进位的话直接暴力。（反正也进不了多少位）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
char s[500010];int n,num[500010],c,k;
int pls(int &k)
{
    int re=0;
    for (int i=1;i<=k;i++) 
    {
        if (num[i]<10) break;
        re++;
        num[i+1]+=num[i]/10;num[i]%=10;
    }
    if (num[k+1]) k++;
    return re;
}
int _n;
int main()
{
    scanf("%s",s+1);n=_n=strlen(s+1);
    for (int i=1;i<=n;i++) num[i]=s[n-i+1]-'0',num[i]*=9;
    for (int i=1;i<=_n;i++) 
    {num[i+1]+=num[i]/10;num[i]%=10;c+=num[i];} 
    if (num[_n+1]) _n++,c+=num[_n];
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        k++;
        num[1]+=9;c+=9;c-=9*pls(_n);
        if (c<=9*k) 
        {
            printf("%d",k);return 0;
        }
    }
}