怕忘了……
欧拉函数 定义、证明、打表方法
欧拉定理 定义、证明
https://blog.csdn.net/zzkksunboy/article/details/73061013
剩余系、完系、简系
证明相当精彩！
而1~a*b中关于a*b的每个系有且仅有一个。
勿忘：积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
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https://blog.csdn.net/u014074562/article/details/50990326
a^b%c
在b非常大时的情况，
[前提 (a,c)=1]
因为a^phi(c)%c = 1
a^b%c=a^(b%phi(c))%c
c为素数时，phi(c)=c-1。
[无前提]
b>=phi(c)时，a^b%c=a^(b%phi(c)+phi(c))%c
b<phi(c)时，a^b%c=a^(b%phi(c))%c (前面的定理不一定正确)
证明：
https://www.luogu.org/problemnew/solution/P5091
例子：
a=d c=d^e b=d^f e>f
如a=2 b=1024 c=2
P5091 【模板】欧拉定理
1 #include <cstdio> 2 #include <cstdlib> 3 #include <cmath> 4 #include <cstring> 5 #include <string> 6 #include <algorithm> 7 #include <iostream> 8 using namespace std; 9 #define ll long long 10 11 const double eps=1e-8; 12 const ll inf=1e9; 13 const ll mod=1e9+7; 14 const int maxn=1e6+10; 15 //const int maxlen=2e7+10; 16 17 int phi[maxn],zhi[maxn],cnt_zhi; 18 bool vis[maxn]; 19 int maxv=1e6; 20 //char str[maxn]; 21 22 ll mul(ll a,ll b,ll m) 23 { 24 ll y=1; 25 while (b) 26 { 27 if (b&1) 28 y=y*a%m; 29 a=a*a%m; 30 b>>=1; 31 } 32 return y; 33 } 34 35 int main() 36 { 37 ///互质：它们的公因数只有1 38 ///i=1~m的phi(i) 顺便求出 39 40 bool use=0; 41 int i,j,k,a,b,m; 42 char c; 43 phi[1]=1;/// 44 for (i=2;i<=maxv;i++) 45 { 46 if (!vis[i]) 47 { 48 zhi[++cnt_zhi]=i; 49 phi[i]=i-1; 50 } 51 for (j=1;j<=cnt_zhi;j++) 52 { 53 k=i*zhi[j]; 54 if (k>maxv) 55 break; 56 vis[k]=1; 57 if (i%zhi[j]==0) 58 { 59 phi[k]=phi[i]*zhi[j]; 60 break; 61 } 62 else 63 phi[k]=phi[i]*(zhi[j]-1); 64 } 65 } 66 67 68 scanf("%d%d ",&a,&m); 69 b=0; 70 while ((c=getchar())!=EOF) 71 { 72 if (!(c>=48 && c<=57)) 73 break; 74 75 b=b*10+c-48; 76 if (b>=phi[m]) 77 use=1; 78 b=b%phi[m]; 79 // b=(b*10+c-48)%phi[m]; 80 } 81 82 if (use) 83 printf("%lld",mul(a,b+phi[m],m)); 84 else 85 printf("%lld",mul(a,b,m)); 86 return 0; 87 } 88 /* 89 2 12 8 90 2 5 3 91 */
Advanced:
学习 快速幂&龟速乘&快速乘
https://blog.csdn.net/Cyan_rose/article/details/83065026
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a/b%c
b,c互质
则a/b 与 a^[phi(c)-1] 模c的结果是一致的 [a^phi(c) mod c = 1]
a/b%c=a^[phi(c)-1]%c
对于任意情况：
针对的a是特别大，b、c较小的情况
a/b%c=(a%bc)/b
证明：把a设为bc*x + b*y +z的形式 (x尽量大，然后是y尽量大，x,y,z>=0)
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最后推荐：
https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/6740325.html
一些数论题目的模板