组合与计数

组合与计数

1.符号和基本公式

$C_{m}^{n}=frac{m!}{n!(m-n)!}$

几种计算组合数取模的方法：

1.0 暴力计算, $O(1)-O(m)$

~~快速阶乘：。。。~~

1.1 逆元 $O(mlog~{m})-O(1)$

如果运用线性求逆元的手法（ $a^{-1}=-frac{p}{a}*(p~mod~a)^{-1}~mod~p=(p-~frac{p}{a})*(p~mod~a)^{-1}~mod~p$ ）

可以优化到 $O(m)-O(1)$

1.2 模数太大的情况可以考虑Lucas定理

即 $C_{m}^{n}=C_{m\%mod}^{n\%mod}*C_{frac{n}{mod}}^{frac{m}{mod}}$ ，那么复杂度就是 $O(mod)-O(log_{mod}(m))$

简单计数问题：

对于数列A, $S$subset$A$ ,求 $sum_{|S|=k}|max_{S}x-min_{S}y|$$$ 对某个数取模的值

约定

max和min的部分可以分开处理，实际上就是求有多少个大小为k的集合使得每个数成为最大值或最小值。

按照a_i排序，此时第i个数成为最大值的方案数为C(i-1, k-1)，最小值的方案数为C(n-i, k-1)。

剩下的就是求组合数了。由于模数可能比较玄学，所以要使用crt以及快速阶乘

不简单的计数问题

询问如下多重集（数字可以重复的集合）的个数：

这个集合中有n个数字，每个数字在1..L之间，n为偶数。

这n个数字能分成n/2组，使得每组有两个数，且这两个数的积不超过c。

答案很大，对10^9+7取模。

约定： $nleq2000,Lleq2000,cleq2000$

很不简单的计数问题

给定n,m，求n个点m条边的无向联通图个数

http://jiaqiyang.com/2016/04/01/Counting-the-number-of-connected-graphs/

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原文地址：https://www.cnblogs.com/chouti/p/6075370.html

1.符号和基本公式

简单计数问题：

不简单的计数问题

很不简单的计数问题