• N阶台阶问题(详解)


     原创


     问题描述:

      有N阶台阶,每一步可以走1步台阶或者2步台阶,求出走到第N阶台阶的方法数。

    解题思路:

    1.    类似于建立树的过程

         

              1                      2

           1      2                   1     2

          1        2      1    2                 1       2        1       2
         ……..                   ........

         如上,建立一棵根节点为1和一棵根节点为2的二叉树,分别表示台阶第一步跨1步和跨2步,

         第二层各有两种选择,分别是跨1步和2步,接下来的每一层都有这两种选择,如何跨

         越的阶数等于N,计数变量+1,如果大于N,返回继续走其他路径。

           (由于n到45左右时数据已经爆炸,这种暴力递归法在n较大时系统出不来数据了)

     1 #include<stdio.h>
     2 
     3 int count;    //计数变量
     4 
     5 void sos(int n,int step)
     6 {
     7     if(step>n)    //大于n,这种方法不行 
     8         return;
     9     if(step==n)
    10     {
    11         count++;
    12         return;
    13     } 
    14     
    15     sos(n,step+1);    //树1
    16     sos(n,step+2);    //树2
    17 }
    18 
    19 int main()
    20 {
    21     int n;
    22     scanf("%d",&n);    //n阶台阶
    23     
    24     sos(n,0); 
    25     printf("%d",count);
    26     return 0;
    27 } 

       2. 动态规划法

         有一个规律: F(n)= F(n-1)+ F(n-2);

         F(n)表示当有n阶台阶时有F(n)种方法;比如F(1)= 1;F(2)= 2;F(3)= F(1)+ F(2)= 3;

         下面我用我的思路尽可能让大家理解这个公式:

         1. 可以这样想,需要跨越n层阶梯,那么第一步我跨1层阶梯,那么剩下n-1层阶梯,跨越这n-1阶台阶的方法

           就有F(n-1)方法; 同理,第一步跨2层阶梯,那么跨越剩下的n-2层阶梯就有F(n-2)种方法。

           所以跨越n层阶梯的方法数  F(n)= F(n-1)+ F(n-2);

          2.   如果上面大家不理解,还可以这样理解,假如我们已经知道了F(n-1)和F(n-2),求F(n);

           在F(n-2)的基础上,我们可以通过一次跨2层阶梯到达第n层,也可以通过先跨1步,再跨1步的方式到达

           第n层。 我们可以这样理解,如果一次性跨2层阶梯,我们只是在每一种跨越n-2层阶梯方式的基础上再加上

           2就能到达第n层阶梯了,所以方法还是F(n-2);

           如果先跨1步,这样加上原来的n-2步,就一共走了n-1步了,方法数就是F(n-1)了,然后再跨多1步,同

           上,我们只是在每一种跨越n-1层阶梯方式的基础上再加上1就能到达第n层阶梯了,所以方法还是F(n-1)。

           希望这样说大家能理解。

           如有疑问和建议,非常欢迎大家发表评论。

     1 #include<stdio.h>
     2 #include<stdlib.h>
     3 
     4 int sos(long long *arr,int n)
     5 {
     6     if(n<0)
     7         return 0;
     8     if(n==0 || n==1 || n==2)
     9         return n;
    10         
    11     if(arr[n-1]==0)    //等于0表示没有被算出
    12         arr[n-1]=sos(arr,n-1);    //没有被算出,就先算出
    13         
    14     if(arr[n-2]==0)    //同理
    15         arr[n-2]=sos(arr,n-2); 
    16         
    17     return arr[n-1]+arr[n-2];    //等到算出arr[n-1]和arr[n-2]后就可以算出arr[n]了 
    18 }
    19 
    20 int main()
    21 {
    22     int n;
    23     scanf("%d",&n);    //输入台阶数 
    24     
    25     long long *arr;
    26     arr=(long long *)malloc(sizeof(long long)*(n+1));    //分配n+1个空间 
    27     
    28     int i;
    29     for(i=0;i<=n;i++)    //数组全部元素置0 
    30         arr[i]=0;
    31     
    32     printf("%I64d",sos(arr,n));
    33     
    34     free(arr);
    35     return 0;
    36 }

    2018-04-06                                                      

    作者:剑冢、
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/chiweiming/p/8596436.html
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