- 已知(a_0=-3,a_1=-6,a_2=-12)，且(a_n=3a_{n-1}+a_{n-2}-3a_{n-3}+3^n(nge 2))，求(a_n)的值。
- 数据组数(le5 imes10^7)，(nle2^{64}-1)
递推式变形
观察系数，发现刚好(a_n)与(a_{n-2})系数相反，(a_{n-1})与(a_{n-3})系数相反，因此容易想到移项得到：
[a_n-a_{n-2}=3(a_{n-1}-a_{n-3})+3^n
]
记(b_n=a_n-a_{n-2})，也就是说：
[b_n=3b_{n-1}+3^n
]
然后发现这个(3)也大有玄机，我们给式子两侧同除以(3^n)得到：
[frac{b_n}{3^n}=frac{b_{n-1}}{3^{n-1}}+1
]
记(c_n=frac{b_n}{3^n})，也就是说：
[c_n=c_{n-1}+1
]
代入几个初值，有(c_0=-3,c_1=-2,c_2=-1)，由此可以直接得出：
[c_n=n-3
]
则(b_n=(n-3) imes 3^n)，现在的问题就是通过(b)来还原(a)了。
通项公式的推导
首先列出式子：
[a_n=sum_{0le ile n,iequiv n(mod 2)}(i-3) imes3^i
]
先考虑(n)为偶数的情况，直接枚举新的(frac{i'}2)：
[a_n=sum_{i=0}^{frac n2}(2i-3) imes9^{i}=2sum_{i=0}^{frac n2}i imes 9^i-3sum_{i=0}^{frac n2}9^i
]
后面的(sum_{i=0}^{frac n2}9^i)可以直接利用等比数列求和公式计算，等于(frac{9^{frac n2+1}-1}8)。
至于前面那项，设(f(m)=sum_{i=0}^mi imes 9^i)，有一个经典的转化套路：
[egin{aligned}
f(m)&=sum_{i=1}^msum_{j=i}^m9^i\
&=sum_{i=1}^mfrac{9^{m+1}-9^i}{8}\
&=frac{m imes9^{m+1}}8-frac{9^{m+1}-9}{64}\
&=frac{(8m-1)9^{m+1}+9}{64}
end{aligned}
]
最后总结一下，根据奇偶性列出(a_n)的两种通项公式：
[a_n=
egin{cases}
2f(frac n2)-frac38 imes(9^{frac n2+1}-1)&(n is exttt{even})\
6f(frac {n-1}2)-frac34 imes(9^{frac {n-1}2+1}-1)&(n is exttt{odd})
end{cases}
]
虽然式子中有很多幂，但它们都是以(9)为底的，可以预处理一下实现光速幂。
代码：(O(T))
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Rg register
#define RI Rg int
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define I inline
#define W while
#define S 32768
#define X 1000000007
#define ull unsigned long long
using namespace std;
Cn int I2=500000004,I4=1LL*I2*I2%X,I8=1LL*I2*I4%X,I64=1LL*I8*I8%X;
ull n;int p[S+5],pp[S+5];I int P9(ull y) {return y%=X-1,1LL*pp[y/S]*p[y%S]%X;}//求9^y
namespace Generator
{
ull sd;int op;I void GetSeed() {scanf("%llu%d",&sd,&op);}
I ull Rand() {return sd^=sd<<43,sd^=sd>>29,sd^=sd<<34,sd;}
I ull R() {return op?(op==1?Rand()%UINT_MAX+1:Rand()):Rand()%USHRT_MAX+1;}
}using namespace Generator;
I int F(Cn ull& m) {return ((8LL*(m%X)-1+X)*P9(m+1)+9)%X*I64%X;}//计算∑i*(9^i)
int main()
{
RI i;for(p[0]=i=1;i<=S;++i) p[i]=9LL*p[i-1]%X;for(pp[0]=i=1;i<=S;++i) pp[i]=1LL*pp[i-1]*p[S]%X;//预处理实现光速幂
RI Tt,t=0;scanf("%d",&Tt),GetSeed();W(Tt--) n=R(),
t^=n&1?(6LL*F(n-1>>1)-3LL*I4*(P9((n-1>>1)+1)-1)%X+X)%X:(2LL*F(n>>1)-3LL*I8*(P9((n>>1)+1)-1)%X+X)%X;//分奇偶性计算
return printf("%d
",t),0;
}