• 【洛谷5470】[NOI2019] 序列(模拟费用流)


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    大致题意: 给定两个长度为(n)的整数序列,要求在两个序列中分别选出(k)个数,其中至少有(l)对数下标相同,使得数的总和最大。

    费用流

    模拟费用流,自然就是在费用流的基础上模拟

    因此,我们首先要知道如何暴力费用流。

    建图如下:

    解释:一般的边对应选出一对下标相同的数的情况。由于能任选(k-l)对,因此任选边(p ightarrow p')的流量是(k-l)

    然而直接跑费用流显然是无法通过此题的。

    模拟费用流

    模拟费用流是对费用流的模拟,接下来的每种情况其实都在费用流的图中有着对应的流法。

    考虑(p ightarrow p')肯定是最优的边,因此我们先贪心将其流满。

    具体地,我们对两个序列各自开一个堆,每次选出还未选择过的(a)中最大元素(a_u)(b)中最大元素(b_v),将总流量(k)以及(p ightarrow p')的容量减(1)

    (S ightarrow S' ightarrow u ightarrow p ightarrow p' ightarrow v' ightarrow T)

    然而如果(b_u)或者(a_v)已经被选择过了,那么我们可以让它们不流(p ightarrow p')这条任选边,而是从一般的边上走,此时可以将(p ightarrow p')的容量加(1)

    (S ightarrow S' ightarrow u ightarrow u' ightarrow T)(S ightarrow S' ightarrow v ightarrow v' ightarrow T)

    流满了(p ightarrow p'),接下来我们有(3)种选择:

    • 选择一对都未选过的(a_x,b_x)。((S ightarrow S' ightarrow x ightarrow x' ightarrow T)
    • 选择一个最大的(a_u),以及一个最大的(a_v)已经被选过的(b_v)。相当于将原先与(a_v)通过任选边连接的(b)转送给(a_u),而(a_v)(b_v)自己走一般边(但要注意如果(b_u)也已经被选过了,需要将(p ightarrow p')容量加(1)重新执行一开始的操作)。((S ightarrow S' ightarrow u ightarrow pleftarrow v ightarrow v' ightarrow T),其中左箭头表示走反向边,即退流操作
    • 选择一个最大的(b_v),以及一个最大的(b_u)已经被选过的(a_u)。同上。

    具体实现也就是开五个堆。。。(其中两个可以延续之前的)

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    #define Tp template<typename Ty>
    #define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
    #define Reg register
    #define RI Reg int
    #define Con const
    #define CI Con int&
    #define I inline
    #define W while
    #define N 200000
    using namespace std;
    int n,k,l,a[N+5],b[N+5],p[N+5],q[N+5];struct Data
    {
    	int p,v;I Data(CI x=0,CI y=0):p(x),v(y){}
    	I bool operator < (Con Data& o) Con {return v<o.v;}
    };priority_queue<Data> A,B,A_,B_,C;
    //A,B存储两个序列中所有未选的元素;A_,B_存储未选但对应元素已被选的元素;C存储下标相同都未被选的元素对
    class FastIO
    {
    	private:
    		#define FS 100000
    		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
    		#define D isdigit(c=tc())
    		char c,*A,*B,FI[FS];
    	public:
    		I FastIO() {A=B=FI;}
    		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);}
    }F;
    int main()
    {
    	RI Tt,i,t,x,y,z;long long ans;Data u,v;F.read(Tt);W(Tt--)
    	{
    		//为了使代码更为简洁,使用了大量#define,请见谅
    		#define PA(x) (p[x]=1,q[x]?1:(B_.push(Data(x,b[x])),0))//选择a[x],打上标记,判断b[x]是否已经选择,没有还要放到堆B_中
    		#define PB(x) (q[x]=1,p[x]?1:(A_.push(Data(x,a[x])),0))//选择b[x],打上标记,判断a[x]是否已经选择,没有还要放到堆A_中
    		#define G(g,H) (g=H.top(),H.pop())//取出H的堆顶存放到g中
    		#define T(H) (H.empty()?-1e9:H.top().v)//询问堆顶的值,堆为空时返回-INF
    		W(!A.empty()) A.pop();W(!B.empty()) B.pop();//清空
    		W(!A_.empty()) A_.pop();W(!B_.empty()) B_.pop();W(!C.empty()) C.pop();//清空
    		F.read(n),F.read(k),F.read(l),t=k-l;//t记录任选边容量
    		for(i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]),A.push(Data(i,a[i])),p[i]=0;//读入并初始化堆A
    		for(i=1;i<=n;++i) F.read(b[i]),B.push(Data(i,b[i])),q[i]=0;//读入并初始化堆B
    		ans=0;W(k&&t&&!A.empty()) --k,--t,G(u,A),G(v,B),ans+=u.v+v.v,PA(u.p)&&++t,PB(v.p)&&++t;//先将任选边流满,若对应元素已选择则将容量加1
    		for(i=1;i<=n;++i) !p[i]&&!q[i]&&(C.push(Data(i,a[i]+b[i])),0);//将都未被选的元素堆放入堆中
    		W(k)
    		{
    			W(!C.empty()&&(p[C.top().p]||q[C.top().p])) C.pop();//弹去不合法元素
    			W(!A.empty()&&p[A.top().p]) A.pop();W(!A_.empty()&&p[A_.top().p]) A_.pop();//弹去不合法元素
    			W(!B.empty()&&q[B.top().p]) B.pop();W(!B_.empty()&&q[B_.top().p]) B_.pop();//弹去不合法元素
    			--k,x=T(C),y=T(A)+T(B_),z=T(A_)+T(B);//三种情况
    			if(x>=y&&x>=z) {G(u,C),ans+=x,p[u.p]=q[u.p]=1;continue;}//选中元素对
    			y>=z?(G(u,A),G(v,B_),ans+=y,q[v.p]=1,PA(u.p)&&++t)//注意若b[u]已选择则将任选边容量加1
    			:(G(u,A_),G(v,B),ans+=z,p[u.p]=1,PB(v.p)&&++t);//注意若a[v]已选择则将任选边容量加1
    			W(k&&t)//与之前的操作过程一致
    			{
    				W(!A.empty()&&p[A.top().p]) A.pop();W(!B.empty()&&q[B.top().p]) B.pop();//弹去不合法元素
    				--k,--t,G(u,A),G(v,B),ans+=u.v+v.v,PA(u.p)&&++t,PB(v.p)&&++t;//可从上面直接复制下来
    			}
    		}printf("%lld
    ",ans);
    	}return 0;
    }
    
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