大致题意： 有一个大小为(n)的背包和(n)种物品，其中第(i)种物品体积为(i)、数量为(i)。求把背包恰好装满的方案数。
阈值
法老讲课题，一道非常有技巧也非常有启发性的题目。
这个问题直接去看就是一个多重背包，但实际上我们考虑，令(S=sqrt n)，则体积大于(S)的物品肯定无法全部放入背包中，可以看作有无限个。
也就是说，我们可以对体积小于等于(S)的物品做多重背包，对体积大于(S)的物品做完全背包。
最后的合并答案实际上只要(O(n))扫一遍就可以了。
多重背包
众所周知，多重背包计数问题可以转化为完全背包。
只要先跑一遍完全背包，然后倒序枚举(j)，令(f_{i,j})减去不合法答案(f_{i,j-(i+1) imes i})，就可以了。
由于只有(sqrt n)个物品体积小于等于(S)，复杂度为(O(nsqrt n))。
完全背包
考虑体积大于(S)的物品个数仍旧是(O(n))的，暴力完全背包复杂度依旧是(O(n^2))。
这里就涉及一个非常巧妙的优化。
我们假设当前选了(i)个物品，体积总和为(j)，接下来我们有两种操作方式：
- 新增一个物品，体积为(S+1)。
- 给当前所有的物品体积加(1)。
不难发现，所有的方案都可以通过这两种操作方式唯一得到。
也就是说，每次枚举(i,j)，令(g_{i+1,j+S+1})和(g_{i,j+i})分别加上(g_{i,j})。
由于最多只能选(S)个物品，复杂度为(O(nsqrt n))。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define SN 320
#define X 23333333
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))
using namespace std;
int n,s;
int f[SN+5][N+5];I void DP1()//体积小于等于S，多重背包
{
RI i,j;for(f[0][0]=i=1;i<=s;++i)
{
for(j=0;j<=n;++j) f[i][j]=(f[i-1][j]+(j>=i?f[i][j-i]:0))%X;//完全背包
for(j=n;j>=(i+1)*i;--j) Inc(f[i][j],X-f[i][j-(i+1)*i]);//减去不合法答案
}
}
int g[SN+5][N+5],tot[N+5];I void DP2()//体积大于S，完全背包
{
RI i,j;for(g[0][0]=1,i=0;i<=s;++i) for(j=0;j<=n;++j) Inc(tot[j],g[i][j]),//tot统计答案
j+s+1<=n&&Inc(g[i+1][j+s+1],g[i][j]),j+i<=n&&Inc(g[i][j+i],g[i][j]);//两种转移
}
int main()
{
RI i,t=0;for(scanf("%d",&n),s=sqrt(n),DP1(),DP2(),i=0;i<=n;++i) t=(1LL*f[s][i]*tot[n-i]+t)%X;//扫一遍求答案
return printf("%d
",t),0;//输出答案
}