本文为IMU预积分总结与公式推导系列技术报告的第二篇。
承接第一篇的内容，本篇将推导IMU预积分的测量值，并分析其测量误差的分布形式。
传统捷联惯性导航的递推算法，以初始状态为基础，利用IMU测量得到的比力和角速度信息进行积分运算，实时更新载体的位姿及速度等状态，回顾上一篇给出的运动模型，如果已知k时刻的载体状态Rk、vk和pk，则利用IMU测量值可以直接递推得到k+1时刻的载体状态，根据这种思路，如果知道上一帧图像采样时刻载体的位姿和速度，则可以递推得到当前帧的位姿和速度。需要注意的是，传统的惯导解算中非常重要的一个问题是处理重力，由于加计的测量特性，其测量值为包含反向重力的比力，而不是纯加速度。这使得一旦姿态不准确，重力投影误差将对速度和位置积分产生严重影响。
在基于BA的视觉惯性融合算法中，各个节点的载体状态都是有待优化的量。IMU预积分的初衷，是希望借鉴纯视觉SLAM中图优化的思想，将帧与帧之间IMU相对测量信息转换为约束节点（载体位姿）的边参与到优化框架中。IMU预积分理论最大的贡献是对这些IMU相对测量进行处理，使得它与绝对位姿解耦（或者只需要线性运算就可以进行校正），从而大大提高优化速度。另外，这种优化架构还使得加计测量中不受待见的重力变成一个有利条件——重力的存在将使整个系统对绝对姿态（指相对水平地理坐标系的俯仰角和横滚角，不包括真航向）可观。要知道纯视觉VO或者SLAM是完全无法得到绝对姿态的。
此外，由于传感器测量误差的存在，无论是纯惯导还是纯VO解算，单纯依靠递推运算不可避免的将带来累积误差（低精度IMU会极快发散）。将两种传感器融合可以利用冗余测量（例如两种方式都可以求取相对位姿）来抑制累积误差。同时，IMU和视觉这两种不同源的测量，也使得IMU的bias可观，从而可以在优化中被有效估计。另外老生常谈的纯单目视觉缺乏绝对尺度的问题，也可以由惯性信息的引入而得以解决。
罗里吧嗦了一大堆，下面我们就来看看IMU预积分中是如何处理相对测量的。
本篇对IMU预积分的理想模型及其噪声展开部分的公式进行了分析和推导。噪声分布将用来计算IMU预积分的信息矩阵，在优化框架中起到平衡权重的作用。