【Luogu】P3628特别行动队（斜率优化DP）

　　题目链接

　　设c[i]是战斗力前缀和，f[i]是考虑前i个，且最后一组分到第i个士兵为止的战斗力之和

　　则有朴素状态转移方程

for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=0;j<i;++j){
        int x=c[i]-c[j];
        f[i]=min(f[i],a*x*x+b*x+c);
    }

　　然后考虑优化。

　　假设f[i]最优结果是从f[j]转移过来，同时有一个不那么优的转移f[k]

　　则有$f[j]+a*squa(c[i]-c[j])+b*(c[i]-c[j])+c>f[k]+a*squa(c[i]-c[k])+b*(c[i]-c[k])+c$

　　展开得到$f[j]+a*squa(c[i])+a*squa(c[j])-2*a*c[i]*c[j]+b*c[i]-b*c[j]>f[k]+a*squa(c[i])+a*squa(c[k])-2*a*c[i]*c[k]+b*c[i]-b*c[k]$

　　整理有$f[j]+a*squa(c[j])-2*a*c[i]*c[j]-b*c[j]>f[k]+a*squa(c[k])-2*a*c[i]*c[k]-b*c[k]$

　　于是有$frac{(f[j]+a*c[j]^{2}-b*c[j])-(f[k]+a*c[k]^{2}-b*c[k])}{2*a*(c[j]-c[k])}>c[i]$

　　于是可以单调队列优化DP

　　

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline long long read(){
    long long num=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-')    f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        num=num*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return num*f;
}

long long sum[1002000];
long long f[1002000];
long long d[1002000];
long long a,b,c;
inline long long squa(long long x){    return x*x;    }
inline double count(int x,int y){    return (    (f[x]+a*d[x]-b*sum[x])-(f[y]+a*d[y]-b*sum[y])    )/(2.0*a*(sum[x]-sum[y]));    }

int s[1002000];
int h,t;

int main(){
    int n=read();
    a=read();b=read();c=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        sum[i]=read()+sum[i-1];
        d[i]=squa(sum[i]);
        f[i]=-1e18;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(h<t&&count(s[h],s[h+1])<=sum[i]*1.0)    h++;
        int x=s[h];
        f[i]=f[x]+a*squa(sum[i]-sum[x])+b*(sum[i]-sum[x])+c;
        while(h<t&&count(s[t-1],s[t])>=count(s[t],i))    t--;
        s[++t]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}