逆元求法

在求解除法取模问题(a/b)%m时，我们可以转化为(a%(b∗m))/b， 
但是如果b很大，则会出现爆精度问题，所以我们避免使用除法直接计算。 
可以使用逆元将除法转换为乘法： 
假设b存在乘法逆元，即与m互质（充要条件）。设c是b的逆元，即b∗c≡1(modm)，那么有a/b=(a/b)∗1=(a/b)∗b∗c=a∗c(modm) 
即，除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。

1. 逆元求解一般利用扩欧。
2. 当m为质数的时候直接使用费马小定理，m非质数使用欧拉函数。
3. 当m为质数的时候，神奇的线性方法。

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扩展欧几里得算法：

要求a,m互素。存在唯一解。 
之前总结过扩展欧几里得算法

代码：

int extgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    int d = a;
    if(b != 0){
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }else {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}
int mod_inverse(int a, int m)
{
    int x, y;
    extgcd(a, m, x, y);
    return (m + x % m) % m;
}

费马小定理：

在p是素数的情况下，对任意整数x都有x^p≡x(mod)p。 
如果x无法被p整除，则有x^p−1≡1(modp)。 
可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元，x∗x^p−2≡1(modp)，x^p−2即为逆元。

代码：

利用快速幂求出逆元。
int cal(int x,int m,const int MOD) {
 int ans=1;
 while(m){ 
    if(m&1)
      ans=ans*x%MOD;
     m>>=1;
     x=x*x%MOD; 
  } 
   return ans;
 }

 

线性时间求所有逆元：

规定p为质数，且1⁻¹≡1(modp) 
设p=k∗a+b,b<a,1<a<p，即k∗a+b≡0(modp) 
两边同时乘以a⁻¹∗b⁻¹，得到 
k∗b⁻¹+a⁻¹≡0(modp) 
a⁻¹≡−k∗b⁻¹(modp) 
a⁻¹≡−p/a∗(p mod a)( mod p) 
从头开始扫一遍即可，时间复杂度O(n)

代码：

int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i++)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;