完全背包--动态规划

题目：

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。放入第i种物品的费用是Ci，价值是Wi，求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品耗费的费用和不超过背包容量，且价值总和最大。

分析：

（一）建立状态方程

可以转化为01背包问题求解

dp[i][v]表示前i件种物品放入容量为v的背包的最大价值，则有：

dp[i][v]=max{dp[i-1][v-k*C[i]]+k*W[i]}，其中0<=k*C[i]<=v，状态方程的建立不难理解

（二）根据状态方程实现代码

有了状态方程，看出i与i-1有关，所以i从1到N遍历，v与v-k*C[i]有关，所以k从0到k*C[i]<=v遍历

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define N 3//物品个数
#define V 10//背包容量

int C[N+1]={0,10,4,5};  //Ci表示第i件物品的费用   （i从1开始）
int W[N+1]={0,2,2,1};   //W[i]表示第i件物品的价值
int dp[N+1][V+1];

int CompletePack(){
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int k=0;k*C[i]<=V;k++)
            dp[i][V]=max(dp[i][V],dp[i-1][V-k*C[i]]+k*W[i]);
    }
    return dp[N][V];
}
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    cout<<CompletePack();
    return 0;
}

 

（三）优化数据结构

注意到状态方程中i只与i-1有关，可以消去一维，但是如果直接由上面的代码消维是不成的，因为我们用到了上一状态的V-k*C[i]，也就是我们在进入下一状态前，这一状态的每一个dp[v]，0<=v<=V，必须都是已知的，但是以上代码是对k进行遍历，和v无关，所以要对v进行遍历，那该如何写呢？

从状态方程中找线索，dp[i][v]=max{dp[i-1][v-k*C[i]]+k*W[i]}，0<=k*C[i]<=V

我们再把它展开一下看，dp[i][v]=max{dp[i-1][v],dp[i-1][v-C[i]]+W[i],dp[i-1][v-2C[i]]+2W[i]……}

再来看我们需要的v，这个v范围是0<=v<=V，将v的范围带入上式看，我们发现虽然v-C[i],v-2C[i]看起来很繁琐，但是追根究底范围也一定是在0到V之间，

再来看它们之间的关系，发现后一个元素永远比前一个元素多了一个W[i]，如果我们事先将dp[v-C[i]]+W[i]的值得到，那么当v增加一个C[i]时，取dp[v-C[i]]，这里dp[v-C[i]]就是dp[v-C[i]]+W[i]，然后再加上一个W[i]，即dp[v-C[i]]+W[i]不就是取得两件i物品所获得的价值了吗！想到这，代码就可以实现了：

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define N 3//物品个数
#define V 10//背包容量

int C[N+1]={0,10,4,5};  //Ci表示第i件物品的费用   （i从1开始）
int W[N+1]={0,2,2,1};   //W[i]表示第i件物品的价值
int dp[V+1];

int CompletePack(){
    for(int i=1;i<=N;i++){
        for(int v=C[i];v<=V;v++)
            dp[v]=max(dp[v],dp[v-C[i]]+W[i]);
    }
    return dp[V];
}
int main()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    cout<<CompletePack();
    return 0;
}

 

发现了吗？代码和01背包问题就内层循环的顺序不同而已，但是实际意义可是大不相同啊

 

（四）深入优化

如果再继续优化也是可以的，如果有两件物品i和j，有C[i]>C[j]，W[i]<W[j]，也就是i物品所占容量大于j物品，但是i物品的价值却低于j物品，那么i物品就可以不用考虑了