常见的基本数据结构——表

表 ADT

形如A1,A2,A3,.....，An这样的表。这个表的大小是n，大小为0的表为空表。

对于除空表外的任何表，我们说A[i+1]后继A[i]并且A[i-1]前驱A[i]。表中的第一个元素A[1]不定义前驱，最后一个元素A[N]不定义后继。

表ADT上面的操作：PrintList，MakeEmpty，Find，FindKth，Insert，Delete。

表的简单数组

对表的所有操作都可以通过使用数组来实现。需要对表的最大值进行预估，估计大了会严重的浪费空间。

数组实现使得PrintList和MakeEmpty以线性时间执行，而FindKth花费常数时间，但是插入和删除的代价

是昂贵的。插入需要将后面的元素进行向后移动，删除需要将后面的元素向前移动。平均来看，还是以线性时间执行。

链表

为了避免插入和删除的开销，我们允许使用不连续存储。

链表由一系列不必再内存中相连的结构组成。每一个结构均包含有表元素和指向后继元素的指针。我们称之为Next指针。最后的Next指针指向NULL。

链表上面的操作

对于PrintList和Find只需间指针传递到该表的第一个元素，然后用一些Next指针传递即可，此时的时间是线性的。删除命令可以通过修改指

针来实现，插入命令需要申请空间调用mallo函数，然后调整两次指针。

下面是链表的相关操作的具体实现

链表的类型声明

struct Node;
typedef struct Node *PtrToNode;
typedef PtrToNode List;
typedef PtrToNode Position;

struct Node{
     ElementType Element;
     Position Next;
};

 

判断链表是否为空

int
IsEmpty(List L){
     return L->Next == NULL;
}

 

判断当前是否为链表的末尾位置

int
IsLast(Position P,List L){
     return P->Next == NULL;
}

 

Find查找函数

Position
Find(ElementType X, List L){
    Position p;
    P = L->Next;
    while(p != NULL && p->Element != X){
        p = p->Next;
    } 
     return p;
}

 

链表的删除操作

void 
Delete(ElementType X, List L){
    Position p, TepCell;
    p = FindPrevious(X);
    if(!IsLast(P, L)){
        TmpCell = p->Next;
        p->Next = TmpCell->Next;
        free(TmpCell);
    } 
}

Position
FindPrevious(ElementType X, List L){
    Position P;
    P = L;
    while(P->Next != NULL && P->Next->Element != X){
        p=p->next;
    }
    return P;
}
    

链表的插入操作

void
Insert(ElementType X, List L, Position P){
    Position TmpCell;
    TmpCell = malloc(sizeof(Struct Node));
    if(TMpCell == NULL){
        FatalError(”out of space”);
    }
    TmpCell->Element = X;
    TmpCell->Next = P->Next;
    P->Next = TmpCell;
}

注意上述的方法中的参数，虽然有些参数在函数中没有使用，但是之所以这么做是因为别的实现方法可能会用上。

对于上述的操作，最坏的情况是扫描整个表，平均来看运行时间是O(N)，因为必须平均扫描半个表。

常见的错误

当指针为空时，指向的是非法空间，使用指针的属性或者操作时将会产生错误，无论何时只要你确定一个指向，就必须要保证该指针不是NULL。

删除表的不正确的做法

void
DeleteList(List L){
    Position P, Tmp;
    P = L->Next;
    L->Next = NULL;
    while(P != NULL){
        Tmp = P->Next;
        free(P);
        P = Temp;
    }
}

 

双链表

有时候以倒序扫描链表很方便，标准的实现方法却是无能为力了，然而解决办法很简单，就是在数据域附加上一个域，使它包含指向前一个单元的指针即可。其附加的开销是它增加了空间，同时插入

和删除的开销增加了一倍，因为有更多的指针需要定位。另一方面，它简化了删除操作，不再使用指向前驱的的指针来访问关键字。

循环链表

让最后的元素反过来指向第一个元素是一种流行的做法，若有表头，则最后的元素就指向表头，并且它还可以是双向链表。

多项式ADT

我们用表来定义一种一元(具有非负次幂)多项式的的抽象数据类型。如果多项式的大部分系数非零，那么可以用一个简单的数组来存储这些系数。

多项式ADT的数组实现类型声明

typedef struct{
    int Coeffarray[MaxDegree + 1];
    int HighPower;
}* Polynomial;

//将多项式初始化为0的过程
void
ZeroPolynomial(Polynomial Poly){
    int i;
    for(i=0; i<=MaxDegree; i++){
        Poly->CoffArray[i] = 0;
    }
    Poly->HighPower = 0;
}

两个多项式相加

void 
AddPolynomial(const Polynomial Poly1, const Polynomial Poly2, Polynomial PolySum){
    int i;
    ZeroPolynomial(PolySum)
    PolySum->HighPower = Max(Poly1->HighPower, Poly2->HighPower);
    for(i=PolySum->HighPower; i>=0; i++){
     　　PolySum->CoeffArray[i] = Poly1->CoeffArray[i] + Poly2->CoeffArray[i];
    }
}

两个多项式相乘的过程

void
MultPolynomial(onst Polynomial Poly1, const Polynomial Poly2, Polynomial PolyProd){
　　int i, j;
　　ZeroPolynomial(PolyProd);
　　PolyProd->HighPower = Poly1->HighPower + Poly2->HighPower;
　　if(PolyProd->HighPower > MaxDegree){
　　　　Error(Except array size);
　　}else{
　　　　for(i=0; i<=Poly1->HighPower; i++){
　　　　　　for(j=0; j<=Poly2->HighPower; j++){
　　　　　　　　PolyPord->CoeffArray[i + j] = Poly1->CoeffArray[i] * Poly2->CoeffArray[j];
　　　　　　}
　　　　}
　　}
}

多项式的另一种表示方法：

通过单链表的方式表示多项式，多项式的每一项保存在链表元素中，并且按照幂的大小间须降序进行排列。

多项式的表示多用于较稀疏的多项式的情况，需要注意的操作时，当链表的多项式相乘时，需要进行多项式的合并同类型。

typedef struct Node *PtrToNode;
struct Node{
　　int Coefficient;
　　int Expoent;
　　PtrToNode Next;
};
typedef PtrToNode Polynomial;

 

基数排序

将链表用于基数排序(radix sort)，基数排序有时也称为卡式排序，因为在现代计算机出现之前，它一直用于老式穿孔卡的排序。

如果我们有N个整数，它的范围是从1到M(或者是0到M-1)，我们可以利用这个信息得到一种快速排序，叫做桶式排序。我们留置一个数组称为Count，大小为M,并初始化为0。那么，Count有M个单元(桶),开始时他们都是空的。当Ai被读入时令Count[Ai]+1。当所有的输入结束后，扫描Count数组，打印好排序的数组。该算法花费的时间是O(M+N)，如果M=N，那么桶排序为O(N)。

基数排序是这种方法的推广。下面的这个例子就是详细的说明，设我们有10个数，范围是0到999之间，我对其排序。一般来说，这是0到N^P-1之间的N个数，p是某个常数。显然我们不适合使用桶排序，因为这样桶太多了。于是我们的策略是使用多次桶排序，通过用最低位优先的方式，进行桶排序，算法将得到正确的结果。如果使用最高位将会出现错误，而且还无法判断最高位。当然，有时会有多个数落入到桶中，而且这些数还是不同的，因此我们需要使用一个表来保存，因为所有的数字都可能有某位，所以用简单数组来保存的话，数组的空间需求是O(N^2)。

下面是10个数的桶式排序的具体例子。本例的输入是：64，8，216，512，27，729，0，1，343，64。为了是问题简化，此时操作按基是10进行，第一遍桶排序的结果是0， 1， 512， 343， 64， 125， 216， 27， 8， 729。在使用次低位对第一遍桶排序的结果进行排序，得到第二次桶排序的结果：0，1，8，512，216，125，27，729，343，64。最后按照最高位进行排序，最后得到的表：0，1，8，27，64，125，216，343，512，729。

第一趟桶排序结果

0	1	512	343	64	125	316	27	8	729
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

第二趟桶排序结果

8 1 0	216 512	729 27 125		343		64
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

第三趟桶排序结果

67 27 8 1 0	125	216	343		512		729
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

在使用数组进行实现时，下面的算法的步骤：

　　1.计算待排序数组的最大位数。

　　2.对桶数组和下表数组进行初始化，根据位数进行循环。

　　3.根据当前的位数，对待排数组进行遍历，计算出当前位的数值，根据数值将其放入对应的桶数组中，并更新下表数组。

　　4.将桶数组中的元素更新到待排数组中，

　　5.更新位数计算，跳转至2步骤，直至位数大于最大位数。

该排序算法的时间复杂度是O(P(N+B))，其中P是排序趟数，N是要被排序的元素的个数，B是桶数。该算法的一大缺点是不能用于浮点数的排序。

当我们把32位机器所能便是的所有整数进行排序时，假设我们在大小为2^11的桶分三趟进行即可，并且算法总是O(N)的时间消耗。

多重表

常见的多重链表是十字链表，十字链表的特点是对于二维的数据，它也能够通过不连续的空间进行表达，即水平方向和垂直方向都是都是链表，且可以是循环链表。

链表的游标实现

在一些不支持指针的语言中，如果需要链表而不能使用指针的话，那么游标法是一种实现方式。

链表的指针实现的重要特点

1.数据存储在一组结构体中，每个结构体含有指向下一个结构体的指针。

2.一个新的结构体可以通过调用malloc从系统中得到，并通过调用free而被释放。

游标实现必须要满足上述条件，条件一可以通过全局结构体数组实现，通过数组下标代表一个地址。

下面是游标的实现

struct Node{
　　ElementType Element;
　　Position Next;
}
struct Node CursoSpace[SpaceSize];

为了模拟条件二，让CursorSpace数组中的单元代替malloc和free的职能。为此，我们保留一个表，表由不再任何表中的元素构成。该表将用0作为表头，对于Next，0的值为NULL，为了执行malloc功能，将第一个元素从freelist中删除，为了执行free功能，我们将该单元放在freelist的前段。

下面是malloc函数和free函数的实现

static Position
CoursorAlloc(void){
　　Position P;
　　P = CoursorSpace[0].next;
　　CursirSpace[0].Next = CursorSpace[P].next;
　　return P;
}
static void
CursorFree(Position P){
　　CursorSpace[P].next = CursorSpace[0].next;
　　CursorSpace[0].next = P;
}

下面是一个链表游标实现的列表：

slot	Element	Next
0	-	6
1	b	9
2	f	0
3	header	7
4	-	0
5	header	10
6	-	4
7	c	8
8	d	2
9	e	0
10	a	1

slot	Element	Next
0	-	6
1	b	9
2	f	0
3	header	7
4	-	0
5	header	10
6	-	4
7	c	8
8	d	2
9	e	0
10	a	1

判断链表是否为空
int IsEmpty(List L){
　　return CursorSpace[L].Next == 0;
}
判断P是否是链表的末尾
int IsLast(Position P, List L){
　　return CursorSpace[P].Next == 0; 
}

游标的Find实现
Position Find(Element X, List L){
　　Position P;
　　P = CursorSpace[L].Next;
　　while(P && CursorSpace[P].Element != X){
　　　　P = CursorSpace[P].Next;
　　} 
　　reutrn P;
}

链表的delete操作
void Delete(Element X, List L){
　　Position P, TmpCell;
　　P = FindPrevious(X, L);
　　if(!IsLast){
　　　　TmpCell = CursorSpace[P].Next;
　　　　CursorSpace[P].Next = CursorSpace[TmpCell].Next;
　　　　CursorFree(TmpCell);
　　}
}