快速沃尔什变换
题目描述
给定长度为(2^n)两个序列(A,B)，设(C_i=sum_{joplus k}A_jB_k)分别当(oplus)是or,and,xor时求出C
输入输出格式
输入格式：
第一行一个数n。 第二行(2^n)个数(A_0..A_{2^n-1})第三行(2^n)个数(B_0..B_{2^n-1})
输出格式：
三行每行(2^n)个数，分别代表(oplus)是or,and,xor时(C_0..C_{2^n-1})的值(mod 998244353)
输入输出样例
输入样例#1：
2
2 4 6 8
1 3 5 7
输出样例#1：
2 22 46 250
88 64 112 56
100 92 68 60
说明
(nle 17)。
题解
2015吕凯风论文和2013王迪论文。
快速莫比乌斯变换
这个只能用来做集合并和与卷积，但是容易理解。
我通过《浅谈容斥原理》找到了另一种形式：
那么通过相同的手段，就可以做集合交卷积。
快速沃尔什变换
这个理论有点复杂，现场推是不可能的，所以背版子吧。
还有类似FFT的实现，不过我反而觉得难写许多。
代码总结
-
and是超集和变换（高维后缀和）。逆变换是超集差变换。
-
or是子集和变换（高维前缀和）。逆变换是子集差变换。
-
xor是蝴蝶变换。逆变换是最后除以长度。
void FAT(poly&a,int dir){ // and -> superset
int lim=a.size(),len=log2(lim);
for(int j=0;j<len;++j)
for(int i=0;i<lim;++i)if(~i>>j&1)
a[i]=add(a[i],dir==1?a[i|1<<j]:mod-a[i|1<<j]);
}
void FOT(poly&a,int dir){ // or -> subset
int lim=a.size(),len=log2(lim);
for(int j=0;j<len;++j)
for(int i=0;i<lim;++i)if(i>>j&1)
a[i]=add(a[i],dir==1?a[i^1<<j]:mod-a[i^1<<j]);
}
void FXT(poly&a,int dir){ // xor
int lim=a.size(),len=log2(lim);
for(int j=0;j<len;++j)
for(int i=0;i<lim;++i)if(~i>>j&1){
int l=a[i],r=a[i|1<<j];
a[i]=add(l,r),a[i|1<<j]=add(l,mod-r);
}
if(dir==-1){
int ilim=fpow(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],ilim);
}
}
int main(){
int len=read<int>(),lim=1<<len;
poly f(lim),g(lim);
for(int i=0;i<lim;++i) read(f[i]);
for(int i=0;i<lim;++i) read(g[i]);
// or
poly a=f,b=g;
FOT(a,1),FOT(b,1);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
FOT(a,-1);
for(int i=0;i<lim;++i) printf("%d%c",a[i],"
"[i==lim-1]);
// and
a=f,b=g;
FAT(a,1),FAT(b,1);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
FAT(a,-1);
for(int i=0;i<lim;++i) printf("%d%c",a[i],"
"[i==lim-1]);
// xor
a=f,b=g;
FXT(a,1),FXT(b,1);
for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
FXT(a,-1);
for(int i=0;i<lim;++i) printf("%d%c",a[i],"
"[i==lim-1]);
return 0;
}