检查一个二叉树是否平衡的算法分析与C++实现

今天面试一个实习生，就想既然是未出校园，那就出一个比较基础的题吧，没想到答的并不如人意，对于树的操作完全不熟悉，因此此题算是未作答。原来我想看一下他分析问题的思路，优化代码的能力。接下来会把最近半年我出的面试题整理出来，以来share给其它同事，而来算是自己校园记忆的一个总结，毕竟自己在项目中已经很久未用到这些知识。其实很多题目都是来源于CareerCup.com。这上面汇集了许多IT名企的面试笔试题目，非常值得找工作的人学习。

言归正传，什么是二叉树是否平衡的定义，如果面试者不知道，那肯定要提出来，而不是简简单单说我对树不熟悉，或者找其他更多更多的理由。

其实可以根据平衡的定义，直接递归访问整棵树，计算子树的高度。

struct TreeNode{
	TreeNode *leftChild;
	TreeNode *rightChild;
	int data;
};

int getHeight(const TreeNode* root){
	if( root == nullptr){
		return 0;
	}
	
	return max(getHeight(root->leftChild), getHeight(root->rightChild)) + 1;
}

bool isBalanced(const TreeNode* root){
	if( root == nullptr){
		return true;
	}
	
	int heightDiff = abs(getHeight(root->leftChild) - getHeight(root->rightChild));
	if( heightDiff > 1){
		return false;
	}
	else{
		return isBalanced(root->leftChild) && isBalanced(root->rightChild);
	}
}

如果开始能给出这个解法那是可以接受的。但是，由于同一个node的高度会被重复计算，因此效率不高。算法复杂度是O(n*logn)。接下来，我们要改进这个算法，使得子树的高度不再重复计算：我们通过删减重复的getHeight(const TreeNode*)调用。其实getHeight不单可以计算子树的高度，其实还可以判断子树是否的平衡的，如果不平衡怎么办？直接返回-1。那该递归调用就可以结束了。

因此，改进的算法就是从root开始递归检查每个子树的高度，如果子树是平衡的，那么就返回子树的高度，否则返回-1：递归结束，树是不平衡的。

int checkHeight(const TreeNode* root){
	if( root == nullptr){
		return 0;
	}
	// check the left subtree is balanced or not.
	int leftHeight = checkHeight(root->leftChild);
	if( leftHeight == -1 ){
		return -1;
	}
	
	// check the right subtree is balanced or not.
	int rightHeight = checkHeight(root->rightChild);
	if( rightHeight == -1){
		return -1;
	}
	
	// check the current tree is balanced or not.
	int diff = leftHeight - rightHeight;
	if( abs(diff) > 1){
		return -1;
	}
	else{
		// return the tree height.
		return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
	}
}
bool isBalanced(const TreeNode* root){
    return ( checkHeight(root) == -1 )? false:true;
}

由于每个node只会访问一次，因此算法时间复杂度为O(n)。但是需要额外的O(logn)的空间。