如何理解“跳表”？
对于一个单链表来讲，即便链表中存储的数据是有序的，如果我们要想在其中查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低，时间复杂度会很高，是 O(n)。
那怎么来提高查找效率呢？如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就会更快一些呢？每两个结点提取一个结点到上一级，我们把抽出来的那一级叫作索引或索引层。图中的 down 表示 down 指针，指向下一级结点。
如果我们现在要查找某个结点，比如 16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，我们发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。
加来一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。
跟前面建立第一级索引的方式相似，我们在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找 16，只需要遍历 6 个结点了，需要遍历的结点数量又减少了。
跳表=链表+多级索引结构
用跳表查询到底有多快？
假设每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的1/2，那第
k级索引结点的个数就是 n/(2k )。按照我们刚才讲的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的1/2，那第 k级索引结点的个数就是 n/(2k )。
假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2h )=2，从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。那这个 m 的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点，也就是说 m=3，为什么是 3 呢？
假设我们要查找的数据是 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的结点 z，所以我们通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。
通过上面的分析，我们得到 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。
跳表是不是很浪费内存？
比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？我们来分析一下跳表的空间复杂度。
假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。
这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢？
我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，是不是就不用那么多索引结点了呢？我画了一个每三个结点抽一个的示意图，你可以看下。
从图中可以看出，第一级索引需要大约 n/3 个结点，第二级索引需要大约 n/9 个结点。每往上一级，索引结点个数都除以 3。为了方便计算，我们假设最高一级的索引结点个数是1。我们把每级索引的结点个数都写下来，也是一个等比数列。
通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。
高效的动态插入和删除
实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。
插入
删除
如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。
跳表索引动态更新
当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。
我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。
跳跃表的实现步骤分析
思路
先讨论插入，我们先看理想的跳跃表结构，L2层的元素个数是L1层元素个数的1/2，L3层的元素个数是L2层的元素个数的1/2，以此类推。从这里，我们可以想到，只要在插入时尽量保证上一层的元素个数是下一层元素的1/2，我们的跳跃表就能成为理想的跳跃表。那么怎么样才能在插入时保证上一层元素个数是下一层元素个数的1/2呢？很简单，抛硬币就能解决了！假设元素X要插入跳跃表，很显然，L1层肯定要插入X。那么L2层要不要插入X呢？我们希望上层元素个数是下层元素个数的1/2，所以我们有1/2的概率希望X插入L2层，那么抛一下硬币吧，正面就插入，反面就不插入。那么L3到底要不要插入X呢？相对于L2层，我们还是希望1/2的概率插入，那么继续抛硬币吧！以此类推，元素X插入第n层的概率是(1/2)的n次。这样，我们能在跳跃表中插入一个元素了。
在此还是以上图为例：跳跃表的初试状态如下图，表中没有一个元素：
如果我们要插入元素2，首先是在底部插入元素2，如下图：
然后我们抛硬币，结果是正面，那么我们要将2插入到L2层，如下图:
继续抛硬币，结果是反面，那么元素2的插入操作就停止了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入元素33，跟元素2的插入一样，现在L1层插入33，如下图：
然后抛硬币，结果是反面，那么元素33的插入操作就结束了，插入后的表结构就是上图所示。接下来，我们插入元素55，首先在L1插入55，插入后如下图：
然后抛硬币，结果是正面，那么L2层需要插入55，如下图：
继续抛硬币，结果又是正面，那么L3层需要插入55，如下图：
以此类推，我们插入剩余的元素。当然因为规模小，结果很可能不是一个理想的跳跃表。但是如果元素个数n的规模很大，学过概率论的同学都知道，最终的表结构肯定非常接近于理想跳跃表。
代码实现
采用随机数生成的方式来获取新元素插入的最高层数。我们先估摸一下n的规模，然后定义跳跃表的最大层数maxLevel，那么底层，也就是第0层，元素是一定要插入的，概率为1；最高层，也就是maxLevel层，元素插入的概率为1/2^maxLevel。
我们先随机生成一个范围为0~2^maxLevel-1的一个整数r。那么元素r小于2^(maxLevel-1)的概率为1/2，r小于2^(maxLevel-2)的概率为1/4，……，r小于2的概率为1/2^(maxLevel-1)，r小于1的概率为1/2^maxLevel。
举例，假设maxLevel为4，那么r的范围为0~15，则r小于8的概率为1/2，r小于4的概率为1/4，r小于2的概率为1/8，r小于1的概率为1/16。1/16正好是maxLevel层插入元素的概率，1/8正好是maxLevel层插入的概率，以此类推。
通过这样的分析，我们可以先比较r和1，如果r<1，那么元素就要插入到maxLevel层以下；否则再比较r和2，如果r<2，那么元素就要插入到maxLevel-1层以下；再比较r和4，如果r<4，那么元素就要插入到maxLevel-2层以下……如果r>2^(maxLevel - 1)，那么元素就只要插入在底层即可。
package arithmetic.com.ty.binary; import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Random; /** * 实现跳跃表：能够对递增链表实现logN的查询时间 */ public class SkipList<T> { // 约束整个跳表的最大层级。2^6(2的6次方) private static final int MAX_LEVEL = 1 << 6; // 跳跃表数据结构 private SkipNode<T> top; // 跳表默认层级数 private int level = 0; // 用于产生随机数的Random对象 private Random random = new Random(); public SkipList() { // 创建默认初始高度的跳跃表 this(4); } // 跳表的初始化 public SkipList(int level) { this.level = level; int i = level; SkipNode<T> temp = null; SkipNode<T> prev = null; while (i-- != 0) { /** * 从下往上进行初始化。假设level为3，每个层级初始化一个值为null，分值为最小double的初始节点 * +---+ * | 3 | * +---+ * +---+ * | 2 | * +---+ * +---+ * | 1 | * +---+ */ temp = new SkipNode<T>(null, Double.MIN_VALUE); temp.down = prev; prev = temp; } // 头节点 top = temp; } /** * 产生节点的高度。使用抛硬币 * * @return */ private int getRandomLevel() { int lev = 1; /** * 核心：初始层级为1，那么此算法需要保证为2的概率为1/2，为3的概率为1/4，如此循环下去。。。 * 这样可以很好的保证第2层节点数量是第1层的两倍，第3层节点数量是第2层节点数量的两倍。第n层节点数量是第n-1层节点数量的两倍。 * 因为如果每层节点数量过多，那么就跟单链表的查询一样了，影响性能。 */ while (random.nextInt() % 2 == 0) { lev++; } return lev > MAX_LEVEL ? MAX_LEVEL : lev; } /** * 存放一个数据到跳表中 * @param score * @param val */ public void put(double score, T val) { // 若cur不为空，表示当前score值的节点存在 SkipNode<T> t = top, cur = null; /** * path存的是每一层需要插入新节点的前驱节点的集合。 * 假设对于三层层级的跳表来说，需要插入分值为4的，那么path里的最终数据为[3,3,1]。 * 第一个3代表是第一层的3，第二个3代表是第二层的3，第三个1代表是第三层的1，代表新节点将要插在这些节点的后面，也可以说这些节点是新节点的前驱节点。 * level3 1 * | * level2 1---->3---->6 * | | | * level1 1->2->3->5->6 */ List<SkipNode<T>> path = new ArrayList<>(); //当头节点不为空的时候，一直轮询 while (t != null) { //若存在分值相同的，直接退出轮询。若分值相同，则会做覆盖处理 if (t.score == score) { cur = t; // 表示存在该值的点，表示需要更新该节点 break; } //如果右节点不存在，那么开始往下找，这一层也就结束，因此需要记录当前节点到path中 if (t.next == null) { path.add(t); //当down节点存在时，此次循环结束，继续往下找；否则退出轮询 if (t.down != null) { t = t.down; continue; } else { break; } } //如果右节点的分数大于新节点分值，那么此层查找结束，继续查down节点，并记录当前层的当前节点 if (t.next.score > score) { path.add(t); if (t.down == null) { break; } t = t.down; } else t = t.next; } /** * 如果存在相同分值的，直接更改down这条竖线上所有数据就好。例如分值为3，那么改3这条竖线上所有的值就好 * level3 1 * | * level2 1---->3---->6 * | | | * level1 1->2->3->5->6 */ if (cur != null) { while (cur != null) { cur.val = val; cur = cur.down; } } else { // 当前表中不存在score值的节点，需要从下到上插入 int lev = getRandomLevel(); /** * 当翻硬币的层级大于当前层级时，需要更新top这一列的节点数量，同时需要在path中增加这些新的首节点。当小于当前层级时，直接在 */ if (lev > level) { /** * 假如翻硬币的层级为4，那么对于如下跳表 * level3 1 * | * level2 1---->3---->6 * | | | * level1 1->2->3->5->6 * -----变成------ * level4 null * | * level3 1 * | * level2 1---->3---->6 * | | | * level1 1->2->3->5->6 * 新的top头节点为level4的null */ SkipNode<T> temp = null; // 前驱节点现在是top了 SkipNode<T> prev = top; while (level++ != lev) { temp = new SkipNode<T>(null, Double.MIN_VALUE); // 加到path的首部 path.add(0, temp); temp.down = prev; prev = temp; } // 头节点 top = temp; // level长度增加到新的长度 level = lev; } /** * 从后向前遍历path中的每一个节点，在其后面增加一个新的节点 * 注：从第一层开始往上添加。path中的数据是从最高层级添加下来的，因此需要从最后一位取，代表是第一层的新节点的前驱节点 */ SkipNode<T> downTemp = null, temp = null, prev = null; //由于是从path中倒序取数，因此i>level-lev，因为level-1到level-lev之间的举例为lev-1，就是翻硬币翻出来的层数 for (int i = level - 1; i >= level - lev; i--) { temp = new SkipNode<T>(val, score); prev = path.get(i); temp.next = prev.next; prev.next = temp; temp.down = downTemp; downTemp = temp; } } } /** * 查找跳跃表中的一个值 * * @param score * @return */ public T get(double score) { SkipNode<T> t = top; while (t != null) { if (t.score == score) return t.val; if (t.next == null) { if (t.down != null) { t = t.down; continue; } else return null; } if (t.next.score > score) { t = t.down; } else t = t.next; } return null; } /** * 根据score的值来删除节点。 * * @param score */ public void delete(double score) { // 1,查找到节点列的第一个节点的前驱 SkipNode<T> t = top; while (t != null) { if (t.next == null) { t = t.down; continue; } if (t.next.score == score) {// 在这里说明找到了该删除的节点 t.next = t.next.next; t = t.down;// 删除当前节点后，还需要继续查找之后需要删除的节点 continue; } if (t.next.score > score) t = t.down; else t = t.next; } } @Override public String toString() { StringBuilder sb = new StringBuilder(); SkipNode<T> t = top, next = null; while (t != null) { next = t; while (next != null) { sb.append(next.score + " "); next = next.next; } sb.append(" "); t = t.down; } return sb.toString(); } /** * 跳跃表的节点的构成 * * @param <E> */ private static class SkipNode<E> { // 存储的数据 E val; /** * 跳跃表按照这个分数值进行从小到大排序。 注：通过引入分值，以分值大小进行排序，这样跳表中存储的数据可以是对象等复杂类型数据 */ double score; // next指针，down指针。一个指向右边元素，一个指向下层元素 SkipNode<E> next, down; SkipNode(E val, double score) { this.val = val; this.score = score; } } public static void main(String[] args) { SkipList<String> list = new SkipList<>(); list.put(1.0, "1.0"); System.out.println(list); list.put(2.0, "2.0"); System.out.println(list); list.put(3.0, "3.0"); System.out.println(list); list.put(4.0, "4.0"); System.out.println(list); list.put(5.0, "5.0"); System.out.println(list); list.delete(3.0); System.out.println(list); System.out.println("查找4.0" + list.get(4.0)); } }
运行结果：
当然每次运行结果层数都可能会不一样，这也正是翻硬币的作用所在。
4.9E-324是double最小值，也就是我们初始化节点的默认value值。