算法和数据操作-动态规划与贪婪算法

动态规划是热门话题，如果一个面试题就问题的最优解，通常是最大值和最小值，而且能分解成若干个子问题，子问题也能分解更小的子问题，就能考虑动态规划

线分析要能否把大问题分解成小问题，小问题存在最优解，然后把小问题组合起来能够得到整个问题的最优解，用动态规划

为了避免重复求子问题，可以用从下往上的顺序计算子问题的最优解并存储下来，以此为基础球的最大问题的最优解，从上往下分析问题，从下往上求解问题

在用动态规划的时候，每一步都可能面临若干选择

动态规划四个特点：

1.求一个问题的最优解

2.整体问题的最优解依赖于各个子问题的最优解

3.大问题可以分解为若干个小问题，小问题之间还有更小的子问题

4.从上往下分析问题，从下往上求解问题

贪婪算法和动态规划算法不一样，应用贪婪算法的时候，每一步都可以做出一个贪婪选择，基于这个选择得到最优解

面试题14.剪绳子

题目：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成n段(m,n都是整数,n>1,m>1)，每段绳子的长度记为k[0],k[1],……k[m]，请问k[0]*k[1]*……k[m]可能的最大成绩是多少？例如当绳子的长度未8，我们把他剪成长度为2，3，3的3段，此时得到的最大乘积为18

常规时间O(n^2)，空间O(n)-》动态规划

时间空间都为O(1)的贪婪算法

动态规划方法

定义f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值

在剪第一刀的时候，我们有n-1种可能，也就时间出来的第一段绳子的可能长度为1，2，……n-1。因此f(n)=max(f(i)*f(n-1)),其中0<i<n

这是一个从上到下的递归公式，会有重复子问题，大量不必要的计算，更好的办法是从下到上

当绳子长度为2的时候，只能剪成长度都为1的两段，因此f(2)等于1，当绳子长度为3的时候，可能把绳子剪成长度分别为1和2的两端或者长度都为1的三段，由于1*2>1*1*1，因此f(3)=2

public static int maxProductAfterCutting_solution1(int length){
    if(length==1){
        return 0;
    }
    else if(length==2){
        return 1;
    }
    else if(length==3){
        return 2;
    }
    int[] products=new int[length+1];
    products[0]=0;
    products[1]=1;
    products[2]=2;
    products[3]=3;
    int max=0;
    for(int i=4;i<=length;i++){
        max=0;
        for(int j=1;j<=i/2;j++){
            int product=products[j]*products[i-j];
            if(max<product){
                max=product;
            }
            products[i]=max;
        }
    }
    max=products[length];
    return max;
}

贪婪算法

长度剩下5以上，尽可能多剪长度为3的绳子，长度为4的时候，尽量剪长度为2的绳子

public static int maxProductAfterCutting_solution2(int length){
    if(length<2){
        return 0;
    }
    else if(length==2){
        return 1;
    }
    else if(length==3){
        return 2;
    }
    int timesOf3=length/3;
    if(length-timesOf3*3==1){
        timesOf3=timesOf3-1;
    }
    int timesOf2=(length-timesOf3*3)/2;
    return (int)(pow(3,timesOf3))*(int)(pow(2,timesOf2));
}

在n>=5的时候，可以证明2(n-2)>n并且3(n-3)>n,当绳子长度大于等于5，我们把他剪成长度为3或者2的绳子段。另外当n>=5时，3(n-3)>=2(n-2)因此我们尽可能减去长度为3的段

当绳子长度为4的时候，剪一刀，2*2>3*1