一、概念：
在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。
例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.
对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).
（初学者一定注意：此处的欧拉函数与图论中的欧拉回路不同）
二、通式：
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。
φ(1) = 1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如 12 = 2*2*3 那么 φ(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3)=4 )
若 n = p^k ( p为 质数 )，则 φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)p^(k-1)，（ 除 p 的倍数外，其他数均为 p 的互质数 ）。
若n = p（ p 为质数），则 φ(n) = p-p^(1-1) = p-1。
三、性质：
(1) p^k型欧拉函数:
若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。
若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。
(2)mn型欧拉函数
设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。
(3)特殊性质:
若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。
对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理
当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理
三、模板
1.直接求小于或等于n,且与n互质的个数:
int eular(int n)
{
int i,ret=n;
for(i=2; i<=sqrt(n); i++)
{
if(n%i==0)
{
ret=ret/i*(i-1);
while(n%i==0) n/=i;
}
}
if(n>1) ret=ret/n*(n-1);
return ret;
}
2.筛选模板:求[1,n]之间每个数的质因数的个数
#define size 1000001
int euler[size];
void Init()
{
euler[1]=1;
for(int i=2; i<size; i++)
if(!euler[i])
for(int j=i; j<size; j+=i)
{
if(!euler[j])
euler[j]=j;
euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
}
}