2018.10.22-dtoi1554字符串函数(strfun)

题目描述：

两个等长的由大写英文字母构成的字符串a和b，从a中选择连续子串x，从b中选出连续子串y。子串x与子串y的长度相等。

定义函数f(x,y)为满足条件xi=yi(1<=i<=|x|)的i的个数，计算f(x,y)的数学期望。

输入：

第一行输入n(1<=n<=2*10^5)，表示a和b的长度

第二行输入字符串a

第三行输入字符串b

输出：

   输出一个实数表示f(x,y)的期望，答案保留6位小数。  

样例：

题目为什么要给图片样例呢？？！

算法标签：期望dp

思路：

详细的在sgx神犇里有图文并茂的介绍： https://blog.csdn.net/qq_41717018/article/details/83217701

这题总体还是很妙的，运用整体思想，我们考虑单个位置上有匹配会造成多少贡献，以下：

当i<j时，我们发现，这个字母O，由于在B的开头一定在[j-i+1,j]中，可以找到会带来1的贡献的子串，由于B的结尾一定在[j，n]中，所以在A若在此位有贡献，则A的结尾一定在[i,i+n-j]中，所以总贡献即i*（n-j+1）。

当i>j时，则类似i<j的分析，则贡献就是（n-i+1）*j。

于是在一个子串中统计前缀出现的字母i出现的位置之和，和后缀字幕出现n-pos+1之和。

以下代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define D double
#define LL long long
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
using namespace std;
const int N=2e5+5;char a[N],b[N];int n;LL f[30][N],g[30][N],sum;
il int read(){int x,f=1;char ch;_(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch^48;_()x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);return f*x;}
int main()
{
    n=read();scanf(" %s",a+1);scanf(" %s",b+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=26;j++)f[j][i]=f[j][i-1];f[a[i]-'A'+1][i]+=(LL)i;
    }
    for(int i=n;i;i--){
        for(int j=1;j<=26;j++)g[j][i]=g[j][i+1];g[a[i]-'A'+1][i]+=1ll*(n-i+1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum+=(LL)i*g[b[i]-'A'+1][i+1]+1ll*(n-i+1)*f[b[i]-'A'+1][i];
    printf("%.6lf
",(D)sum*6.0/(1.0*(1.0*(D)(n+1)*(D)(2*n+1)*(D)n)));
  return 0;
}