两条公式：
(x^n=sumlimits_{k=0}^n left{egin{matrix}n \ kend{matrix}
ight} x^{underline k})
(x^{overline n}=sumlimits_{k=0}^nleft[egin{matrix}n\kend{matrix}
ight] x^k)
依然用到求两次的思想
对于(x^n)
可以理解为用x种颜色给n个点染色
我们有两种求法：
1.每个点有x种染色方案，x^n
2.总共染k种颜色，把n个点分到k个集合中
对于(x^{overline n})
可以理解为x种颜色，将n个点组成若干条项链，同一条项链上的点颜色必须相同，不同链可以染同种颜色
我们有两种求法
1.将n个点合成k条项链（轮换），再给每条项链统一染色，(x^k)
2.按编号从小到大加入每个点，可以选择在x种颜色中选一种自成一串，也可以选择接在之前某个珠子后面并继承一样的颜色，第一个点方案数x，第二个点方案数x+1，第三个点方案数x+2，第n个点方案数x+n-1,总方案数为(x^{overline n})
转化为下降幂
[egin{aligned}
x^{underline n}&=(-1)^n*(-x)^{overline n}\
&=(-1)^n*sum_{k=0}^n left[egin{matrix}n\kend{matrix}
ight] (-x)^k\
&=sum_{k=0}^n left[egin{matrix}n\kend{matrix}
ight] (-1)^{n+k}x^k\
(-1)^{n+k}=(-1)^{n-k},则有\
x^{underline n}&=sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} left[egin{matrix}n\kend{matrix}
ight]x^k
end{aligned}
]
离散微积分
裂项求和的原理，通过把(f(x)=Delta g(x)=g(x+Delta x)−g(x))
(f)相加的话(g)中相邻两项就会约掉
我们说(g)是(f)的原函数
[egin{aligned}
Delta x^{underline n}&=(x+1)^{underline n}-x^{underline n}\
&=(x+1)x^{underline {n-1}}-(x-n+1)x^{underline {n-1}}\
&=nx^{underline {n-1}}\
把式子的n换成n+1,则有\
Delta x^{underline {n+1}}&=(n+1)x^{underline n}\
x^{underline n}&=frac{Delta x^{underline {n+1}}} {(n+1)} \
x^{underline n}&=frac{(x+1)^{underline {n+1}}} {(n+1)} - frac{x^{underline {n+1}}} {(n+1)} \
end{aligned}]
所以(x^{underline n})的原函数为(frac 1 {(n+1)} {x^{underline {n+1}}})
推导公式
[egin{aligned}
f_t(n)&=sum_{k=0}^n k^t\
&=sum_{k=0}^nsum_{i=0}^t left{egin{matrix}t\iend{matrix}
ight}k^{underline i}\
&=sum_{i=0}^t left{egin{matrix}t\iend{matrix}
ight}sum_{k=0}^nk^{underline i}\
k^{underline i}原函数为frac 1 {(i+1)} {k^{underline {i+1}}}\
&=sum_{i=0}^t left{egin{matrix}t\iend{matrix}
ight}sum_{k=0}^n
frac {(n+1)^{underline {i+1}}} {i+1}\
&=sum_{i=0}^t frac {left{egin{matrix}t\iend{matrix}
ight}} {i+1}sum_{k=0}^n
{(n+1)^{underline {i+1}}} \
&=sum_{i=0}^t frac {left{egin{matrix}t\iend{matrix}
ight}} {i+1}sum_{k=0}^nsum_{j=0}^{i+1}(-1)^{i+1-j}left[egin{matrix}i+1\jend{matrix}
ight] (n+1)^j
end{aligned}
]