变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上两级 …… 它也可以跳上 n 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法？

关于本题，前提是 n 个台阶会有一次 n 阶的跳法。分析如下:

• f(1) = 1

  一个台阶，只能跳一次

• f(2) = f(2 - 1) + f(2 - 2)

  两个台阶，第一次跳一阶，那么还剩一阶，就是 f(2 - 1)；第一次跳两阶，剩下 f(2 - 2)

• f(3) = f(3 - 1) + f(3 - 2) + f(3 - 3)

  ...

• f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) + f(n - 3) + ... + f(n - (n - 1)) + f(n - n)

说明：这里的 f(n) 代表的是 n 个台阶有一次 1，2 ... n 阶的跳法数

• n = 1 时，只有一种跳法，f(1) = 1

• n = 2 时，会有两种跳的方式，一次 1 阶或者 2 阶，这回归到了问题 f(2) = f(2 - 1) + f(2 - 2)

• n = 3 时，会有三种跳的方式，1 阶、2 阶、3 阶，那么就是第一次跳出 1 阶后面剩下：f(3 - 1)；第一次跳出 2 阶，剩下 f(3 - 2)；第一次跳出 3 阶，那么剩下 f(3 - 3)，因此结论是f(3) = f(3 - 1) + f(3 - 2) + f(3 - 3)

• n = n 时，会有 n 种跳的方式，1 阶、2 阶 ... n 阶，得出结论：

  f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)+ ... + f(n - (n - 1)) + f(n - n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n - 1)

由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

f(n - 1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f((n - 1) - 1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n - 2)

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n - 2) + f(n - 1) = f(n - 1) + f(n - 1)

可以得出：f(n) = 2 * f(n - 1)

得出最终结论，在 n 阶台阶，一次有 1、2 ... n 阶的跳的方式时，总得跳法为：当 n = 0 时，f(n) = 1；当 n = 1 时，f(n) = 1；当 n >= 2 时，f(n) = 2 * (n - 1)

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target <= 0) {
            return -1;
        } else if(target == 1) {
            return 1;
        }
        return 2 * JumpFloorII(target - 1);
    }
}