Description
Given n, calculate the sum LCM(1,n) + LCM(2,n) + .. + LCM(n,n), where LCM(i,n) denotes the Least Common Multiple of the integers i and n.
Input
The first line contains T the number of test cases. Each of the next T lines contain an integer n.
Output
Output T lines, one for each test case, containing the required sum.
Sample Input
3
1
2
5
1
2
5
Sample Output
1
4
55
4
55
HINT
Constraints
1 <= T <= 300000
1 <= n <= 1000000
题解Here!
题目要求：$$Ans=sum_{i=1}^nlcm(i,n)$$。
乍一看，很像懵逼钨丝反演，但是只有一个$sum$。。。
那就慢慢推式子。。。
把那个$lcm$换成$gcd$：$$Ans=sum_{i=1}^nfrac{in}{gcd(i,n)}=nsum_{i=1}^nfrac{i}{gcd(i,n)}$$
习惯性地枚举$gcd$：$$Ans=nsum_{d|n}sum_{i=1}^nfrac{i}{d}[gcd(i,n)==d]$$
转变一下$i$：$$Ans=nsum_{d|n}sum_{i=1}^{frac{n}{d}}i imes [gcd(i,frac{n}{d})==1]$$
然后因为$d|n$，所以$d==frac{n}{d}$，那么：$$Ans=nsum_{d|n}sum_{i=1}^di imes [gcd(i,d)==1]$$
我们要求小于$d$且与$d$互素的所有自然数之和。
根据欧拉函数的性质：小于$n$且与$n$互素的所有自然数之和为$frac{n imes varphi(n)}{2}$。
原式可化为：$$Ans=nsum_{d|n}frac{d imes varphi(d)}{2}$$
于是直接线性筛出$varphi(i)$，每个数暴力算到它的倍数里去，就可以预处理出答案了。
复杂度是$O(nlog_2n+T)$。
我也不知道为什么别人写的$O(n+Tsqrt{n})$的都能卡过，我只能写$O(nlog_2n+T)$的，我的常数真的这么大吗。。。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 1000010
using namespace std;
int n;
int k=0,prime[MAXN],phi[MAXN];
long long sum[MAXN],ans[MAXN];
bool np[MAXN];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
void make(){
int m=MAXN-10;
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=m;i++){
if(!np[i]){
prime[++k]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=k&&prime[j]*i<=m;j++){
np[prime[j]*i]=true;
if(i%prime[j]==0){
phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
break;
}
phi[prime[j]*i]=phi[i]*phi[prime[j]];
}
}
sum[1]=1;
for(int i=2;i<=m;i++)sum[i]=(long long)i*phi[i]/2;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=i;j<=m;j+=i)
ans[j]+=sum[i];
for(long long i=1;i<=m;i++)ans[i]*=i;
}
int main(){
int t=read();
make();
while(t--){
n=read();
printf("%lld
",ans[n]);
}
return 0;
}