• Min_25筛学习笔记


    0、一些定义

    • 定义域为正整数集,陪域为复数域的函数被称为数论函数
    • (f(x))是一个数论函数,若对于任意一对互质的正整数(a,b),有(f(ab)=f(a)f(b)),则称(f(x))积性函数
    • (delta(x))(x)的最小质因子,(gamma(x))(x)的最大质因子。
    • (cnt(x))(x)的质因子个数。
    • 记第(i)个质数为(p_i)。特别地,(p_0=1)
    • (pi(x))为不超过(x)的质数个数。由素数定理,(pi(x)=O(frac{x}{log x}))

    1、min_25筛

    论文题:定义(sigma_0(n))(n)的正约数个数,求(S(n)=sum_{i=1}^nsigma_0(i^k))(n,kleq 10^{10})

    拓展:给定一个积性函数(f(x)),且对于任意质数(p)和正整数(e),满足:

    • (f(p))是一个关于(p)的低次多项式。
    • 计算(f(p^e))的复杂度可忽略。
    • (S(n)=sum_{i=1}^nf(i))

    解法

    (f(x)=sigma_0(x^k)),容易发现(f(x))是积性函数。

    [g(n,i)=sum_{substack{2leq xleq n\ delta(x)> p_i}}f(x) ]

    那么(S(n)=f(1)+g(n,0))

    考虑计算(g(x))的递推式,将(x)分成质数和合数两个部分,合数部分枚举最小质因子(一定(leq sqrt{n})),质数部分单独计算,于是

    [egin{align*} g(n,i)&=sum_{substack{i< jleq pi(sqrt{n})}} sum_{substack{2leq xleq n\ delta(x)=p_j}}f(x)+sum_{i< jleq pi(n)}f(p_j) \&=sum_{substack{i< jleq pi(sqrt{n})\ p_j^{e+1}leq n,egeq 1}} left(f(p_j^{e+1})+f(p_j^e)sum_{substack{2leq xleq leftlfloorfrac{n}{p_j^e} ight floor\ delta(x)> p_j}}f(x) ight)+sum_{i< jleq pi(n)}f(p_j) \&=sum_{substack{i< jleq pi(sqrt{n})\ p_j^{e+1}leq n,egeq 1}} left(f(p_j^{e+1})+f(p_j^e)gleft(leftlfloorfrac{n}{p_j^e} ight floor,j ight) ight)+sum_{1leq jleq pi(n)}f(p_j) -sum_{1leq jleq i}f(p_j)end{align*}]

    [h(n)=sum_{1leq ileq pi(n)}f(p_i) ]

    那么

    [g(n,i)=sum_{substack{i< jleq pi(sqrt{n})\ p_j^{e+1}leq n,egeq 1}} left(f(p_j^{e+1})+f(p_j^e)gleft(leftlfloorfrac{n}{p_j^e} ight floor,j ight) ight)+h(n)-h(p_i) ]

    如果能快速计算(h),就可以在很低的复杂度里递推求出(g(n,0))。注意到(f)在质数处的取值为多项式,所以只需要对于非负整数(s),计算(h_s(n)=sum_{1leq ileq pi(n)}p_i^s)。注意到(g(n,i))的递推过程,我们只需要对于(1,2,ldots,lfloorsqrt{n} floor,leftlfloorfrac{n}{lfloorsqrt{n} floor} ight floor,ldots,leftlfloorfrac{n}{2} ight floor,n)(O(sqrt{n}))个数求出(h)值。

    (h_s'(n,i)),为前(n)个数,经过(i)次埃氏筛后剩下的数的(s)次幂之和。那么(h_s(n)=h_s'(n,pi(sqrt{n})))

    对于计算(h_s'(n,i))的递推式,考虑第(i)轮埃氏筛的过程:

    • (n<p_i^2),那么不会有任何数被筛去,于是(h_s'(n,i)=h_s'(n,i-1))
    • (ngeq p_i^2),那么被筛去的数必有质因子(p_i),于是应当减去(p_i^sh_s'left(leftlfloorfrac{n}{p_i} ight floor,i-1 ight))。但是会有最小质因子小于(p_i)的数被减去,所以应当加上这部分的贡献,为(p_i^sh_s'(p_{i-1},i-1))

    那么

    [h_s'(n,i)=h_s'(n,i-1)-[ngeq p_i^2]p_i^sleft(h_s'left(leftlfloorfrac{n}{p_i} ight floor,i-1 ight)-h_s'(p_{i-1},i-1) ight) ]

    边界条件为

    [h_s'(n,0)=sum_{i=2}^ni^s ]

    暴力实现即可。

    时间复杂度

    (O(frac{n^frac{3}{4}}{log n}))

    证明咕着。

    例题

    【模板】Min_25筛

    注意(f)在质数(p)上的取值为(p^2-p),于是需要同时求出质数的和和平方和,即(h_1,h_2)。然后照着公式实现即可。

    #include<cstdio>
    #define ll long long
    #define P 1000000007
    #define inv3 333333336
    #define N 200005
    
    ll n;
    
    int prm[N],_prm;
    bool vis[N];
    inline void sieve(int x){
    	for(int i=2;i<=x;i++){
    		if(!vis[i])
    			prm[++_prm]=i;
    		for(int j=1;j<=_prm&&i*prm[j]<=x;j++){
    			vis[i*prm[j]]=1;
    			if(!(i%prm[j]))
    				break;
    		}
    	}
    }
    
    int sq,m;
    inline int id(ll x){
    	return x<=sq?x:m-n/x+1;
    }
    ll num[N];
    int h1[N],h2[N];//h(x)=h2(x)-h1(x),h1,h2开成滚动数组 
    inline void get_h(){
    	while(1ll*sq*sq<=n)
    		sq++;
    	sq--;
    	sieve(sq);
    	for(int i=1;i<=sq;i++)
    		num[++m]=i;
    	for(int i=sq;i;i--)
    		if(n/i>sq)
    			num[++m]=n/i;
    	for(int i=1;i<=m;i++){
    		int tmp=num[i]%P;
    		h1[i]=1ll*tmp*(tmp+1)/2%P-1;
    		h2[i]=1ll*tmp*(tmp+1)/2%P*(2*tmp+1)%P*inv3%P-1;
    	}//边界条件 
    	for(int i=1;i<=_prm;i++)
    		for(int j=m;num[j]>=1ll*prm[i]*prm[i];j--){//注意倒序递推 
    			int k=id(num[j]/prm[i]);
    			h1[j]=(h1[j]-1ll*prm[i]*(h1[k]-h1[prm[i-1]]+P)%P+P)%P;
    			h2[j]=(h2[j]-1ll*prm[i]*prm[i]%P*(h2[k]-h2[prm[i-1]]+P)%P+P)%P;
    		}
    }
    
    inline int g(ll x,int i){
    	int k=id(x),res=((h2[k]-h1[k]+P)%P-(h2[prm[i]]-h1[prm[i]]+P)%P+P)%P;//h(x)-h(p_i)
    	for(int j=i+1;j<=_prm&&1ll*prm[j]*prm[j]<=x;j++)
    		for(ll pe=prm[j];pe*prm[j]<=x;pe=pe*prm[j]){
    			int tmp=pe%P;
    			res=(res+1ll*tmp*(tmp-1)%P*g(x/pe,j)%P)%P;//f(p_j^e)*g(x/p_j^e,j)
    			res=(res+1ll*tmp*prm[j]%P*(1ll*tmp*prm[j]%P-1)%P)%P;//f(p_j^(e+1))
    		}
    	return res;
    }
    
    int main(){
    	scanf("%lld",&n);
    	get_h();
    	printf("%d
    ",((g(n,0))+1)%P);
    }
    
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