[BZOJ3456]城市规划

【题目大意】

求含有n个点有标号的无向联通图的个数（没有重边），n<=130000

方案数对1004535809(479*2^21+1)取模

样例输入

3

样例输出

4

我们考虑递推，$f[i]$表示$i$个点的联通图个数，那么用总数减去不合法的数量。

考虑枚举$1$号点所在的联通块的点数，那么我们可以得到：

$f[n]=2^{inom{n}{2}}-sum_{i=1}^{n-1}f[i]*inom{n-1}{i-1}*2^{inom{n-i}{2}}$

$sum_{i=1}^{n}f[i]*inom{n-1}{i-1}*2^{inom{n-i}{2}}=2^{inom{n}{2}}$
$sum_{i=1}^{n}f[i]*(i-1)!^{-1}*2^{inom{n-i}{2}}*(n-i)!^{-1}=2^{inom{n}{2}}*(n-1)!^{-1}$

$$A=sum_{i=1}^{n}frac{f[i]}{(i-1)!}*x^i$$
$$B=sum_{i=0}^{n}frac{2^{ extrm{C}_{i}^{2}}}{i!}*x^i$$
$$C=sum_{i=1}^{n}frac{2^{ extrm{C}_{i}^{2}}}{(i-1)!}*x^i$$

因为A*B=C,也就是A=C*B^-1所以求一个多项式逆元，然后NTT就行了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<complex>
using namespace std;
typedef int lol;
const lol NN=130000;
const lol G=3;
lol T[8*NN],fac[2*NN],ifac[2*NN],inv[2*NN],cal[2*NN],a[8*NN],b[8*NN],c[8*NN];
lol R[8*NN],Mod=1004535809;
lol qpow(lol x,lol y)
{
  lol res=1;
  while (y)
    {
      if (y&1) res=1ll*res*x%Mod;
      x=1ll*x*x%Mod;
      y>>=1;
    }
  return res;
}
void NTT(lol *A,lol n,lol L,lol o)
{lol i,j,k;
  lol wn,w,x,y,tmp;
  for (i=0;i<n;i++)
    if (i<R[i]) swap(A[i],A[R[i]]);
  for (i=1;i<n;i<<=1)
    {
      wn=qpow(G,(Mod-1)/(i<<1));
      if (o==-1) wn=qpow(wn,Mod-2);
      for (j=0;j<n;j+=(i<<1))
    {
      w=1;
      for (k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%Mod)
        {
          x=A[j+k];y=1ll*w*A[i+j+k]%Mod;
          A[j+k]=x+y;
          if (A[j+k]>=Mod) A[j+k]-=Mod;
          A[j+k+i]=x-y;
          if (A[j+k+i]<0) A[j+k+i]+=Mod;
        }
    }
    }
  if (o==-1)
    {
      tmp=qpow(n,Mod-2);
      for (i=0;i<n;i++)
    A[i]=1ll*A[i]*tmp%Mod;
    }
}
void inverse(lol *A,lol *B,lol n,lol L)
{lol i;
  if (n==1)
    {
      B[0]=qpow(A[0],Mod-2);
      return;
    }
  inverse(A,B,n>>1,L-1);
  for (i=0;i<n<<1;i++)
    R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L));
  for (i=0;i<n;i++)
    T[i]=A[i],T[n+i]=0;
  NTT(T,n<<1,L+1,1);NTT(B,n<<1,L+1,1);
  for (i=0;i<n<<1;i++)
    T[i]=(1ll*(B[i]<<1)-1ll*B[i]*B[i]%Mod*T[i]%Mod+Mod)%Mod;
  NTT(T,n<<1,L+1,-1);
  for (i=0;i<n;i++)
    B[i]=T[i],B[n+i]=0;
}
int main()
{
  lol n,lg=0,N,m;
  lol i;
  cin>>n;
  fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[1]=cal[0]=cal[1]=1;
  for (i=2;i<=n;i++)
    {
      fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)%Mod;
      inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;
      ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%Mod;
      cal[i]=qpow(2,(1ll*i*(i-1)>>1)%(Mod-1));
    }
  b[0]=1;
  for (i=1;i<=n;i++)
    a[i]=1ll*cal[i]*ifac[i-1]%Mod;
  for (i=1;i<=n;i++)
    b[i]=1ll*cal[i]*ifac[i]%Mod;
  m=(n<<1);
  N=1;
  while (N<=m) N*=2,lg++;
  inverse(b,c,N,lg);
  for (i=0;i<N;i++)
    R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
  NTT(c,N,lg,1);NTT(a,N,lg,1);
  for (i=0;i<N;i++)
    c[i]=1ll*c[i]*a[i]%Mod;
  NTT(c,N,lg,-1);
  cout<<1ll*c[n]*fac[n-1]%Mod;
}