P1410 子序列

P1410 子序列

链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1410

题意

给定一个长度为N（N为偶数）的序列，问能否将其划分为两个长度为N/2的严格递增子序列。

题解

先考虑暴力dp,如果设状态为\(dp[i][j][l][k][r]\)表示前i项中其中一个长度为j，以l结尾，另一个长度为k，以r结尾是否可行，那这道题就做完了。（可惜\(n <= 2000\)）

考虑显然优化，因为\(j+k=i\)并且两个当中必然有一个以\(a[i]\)结尾,所以可以优化为\(dp[i][j][k]\)表示前i项以a[i]结尾的严格递增子序列长度为\(j\)是否可行，另外一个以\(k\)结尾，就优化为了\(O(n^3)\)

考虑贪心，在\(i,j\)相同的情况下，\(dp[i][j][k]\)由最小的\(k\)转移显然是最优的（k越小\(dp[i][j][k]\)越容易转为\(true\)），而且我们可以考虑把贪心的一维压入\(dp\)值中,于是最终状态为\(dp[i][j]\)表示前i项以a[i]结尾的严格递增子序列长度为j，另一个的结尾的最小值。

方程

\(dp[i][j] = min(dp[i-1][i-1]) if:a[i]>a[i-1]\)

考虑把a[i]放入以a[i - 1]结尾的序列

\(dp[i][i-j+1] = min(a[i - 1])if:a[i] > dp[i - 1][j - 1]\)

考虑把a[i]放入不以a[i - 1]结尾的序列

代码（如果不理解请仔细考虑状态的意思）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register
typedef long long ll;
const int MAXN = 2e3 + 5;
int a[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
	int n;
	while(cin >> n)
	{
		for(R int i = 1;i <= n; i++)
			scanf("%d", &a[i]);	
		memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
		dp[1][1] = 0;
		for(R int i = 2;i <= n; i++)
		{
			for(R int j = 1;j <= i; j++)
			{
				if(a[i] > a[i - 1])dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i - 1][j - 1]);	
				if(a[i] > dp[i - 1][j - 1])dp[i][i - j + 1] = min(dp[i][i - j + 1],a[i - 1]);
			}	
		}
		if(dp[n][n / 2] != 0x3f3f3f3f)printf("Yes!\n");
		else printf("No!\n");
	}
	return 0;
}