Bzoj 4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改 数论,Lucas定理,排列组合

4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MB
Submit: 178  Solved: 70
[Submit][Status][Discuss]

Description

曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加

强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会

向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求

其发射的粒子流的威力之和模2333。

Input

第一行一个整数t。表示数据组数。

之后t行，每行二个整数n，k。含义如题面描述。

k<=n<=10^18，t<=10^5

Output

t行每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模2333的值。

Sample Input

1
5 5

Sample Output

32

HINT

 

Source

By 佚名上传

题解：

Lucas定理：C(n,k)%p=(C(n/p,k/p)*C(n%p,k%p))%p    (p为质数)

C(n,k)%2333=C(n/2333,k/2333)*C(n%2333,k%2333)

 

分两种部分考虑：

设k=k1*2333+k2 (0≤k1,k2)

1.对于k1部分

C(n,0)……C(n,2332)

=C(n/2333,0)*C(n%2333,0)+C(n/2333,0)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,0)*C(n%2333,2332) = C(n/2333,0)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个

C(n,2333)……C(n,4665)

=C(n/2333,1)*C(n%2333,0)+C(n/2333,1)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,1)*C(n%2333,2332) = C(n/2333,1)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个

C(n,4666)……C(n,6998)

=C(n/2333,2)*C(n%2333,0)+C(n/2333,2)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,2)*C(n%2333,2332) = C(n/2333,2)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个

C(n,6999)……C(n,9331)

=C(n/2333,3)*C(n%2333,0)+C(n/2333,3)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,3)*C(n%2333,2332) = C(n/2332,3)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个

…………

所以k1部分的总和sum=(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332))*(∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1))

 

2.对于k2部分

C(n,k1*2333)……C(n,k)

=C(n/2333,k1)*C(n%2333,0)+C(n/2333,k1)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,k1)*C(n%2333,k%2333) ==> k%2333+1个

=C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤k%2333))

 

由以上可得ans=(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332))*(∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1))+C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤k%2333))

 

预处理 S(n,k)=∑C(n,i)(0≤i≤k),化简ans=S(n%2333,2332)*(∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1))+C(n/2333,k1)*S(n%2333,k%2333)

因为n%2333一定小于2333,所以可以用二维数组S(n,k)表示。但 ∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1) 中n/2333可能很大，无法用二维数组存储，所以不把 ∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1) 化简为 S(n/2333,k1-1)。但是可以发现 ∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1) 与 要求的最终答案的公式的格式 ∑C(n,i)(0≤i≤k) 一样，所以可以递归求解。另外ans中的C(n/2333,k1)可以用Lucas定理求解。

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define MOD 2333
LL jc[MOD+10],C[MOD+10][MOD+10],S[MOD+10][MOD+10];
LL read()
{
    LL s=0,fh=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')fh=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+(ch-'0');ch=getchar();}
    return s*fh;
}
LL mod(LL k,LL k1){return k-(k/k1)*k1;}
void cljc()
{
    jc[0]=1LL;
    for(int i=1;i<=MOD;i++)jc[i]=mod(jc[i-1]*i,MOD);
}
void clC()
{
    int i,j;
    C[0][0]=1LL;
    for(i=1;i<=MOD;i++)
    {
        C[i][0]=C[i][i]=1LL;
        for(j=1;j<i;j++)C[i][j]=mod(C[i-1][j]+C[i-1][j-1],MOD);
    }
    for(i=0;i<=MOD;i++)
    {
        S[i][0]=1LL;
        for(j=1;j<=MOD;j++)S[i][j]=mod(S[i][j-1]+C[i][j],MOD);
    }
}
LL ksm(LL bb,LL pp,LL kk)
{
    LL s=1LL;
    while(pp>0)
    {
        if(pp%2!=0)s=mod(s*bb,kk);
        pp/=2;
        bb=mod(bb*bb,kk);
    }
    return s;
}
LL Comb(LL n,LL m,LL p)
{
    if(m>n)return 0LL;
    if(m>n-m)m=n-m;
    return mod(jc[n]*ksm(mod(jc[m]*jc[n-m],p),p-2,p),p);
}
LL Lucas(LL n,LL m,LL p)
{
    if(m==0LL)return 1LL;
    return mod(/*Comb(mod(n,p),mod(m,p),p)*/C[n%p][m%p]*Lucas(n/p,m/p,p),p);
}
LL getans(LL n,LL m,LL p)
{
    if(m<0LL)return 0LL;
    return mod(mod(S[mod(n,2333)][2332]*getans(n/2333,m/2333-1,p),p)+mod(Lucas(n/2333,m/2333,p)*S[mod(n,2333)][mod(m,2333)],p),p);
}
int main()
{
    LL T,n,k;
    cljc();
    clC();
    T=read();
    while(T--)
    {
        n=read();k=read();
        printf("%lld
",getans(n,k,MOD));
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}