DP/斜率优化
根据题目描述很容易列出动规方程：$$ f[i]=min{ f[j]+(s[i]-s[j]+i-j-1-L)^2 }$$
其中 $$s[i]=sum_{k=1}^{i} c[k] $$
而$x$即为$s[i]-s[j]+i-j-1$
这个$x$的表示实在太不好看，我们容易发现$i-j$其实是可以跟$s[i]-s[j]$合到一起的，即令 $c[i]=c[i]+1$，则$s[i]=sum_{k=1}^{i} (c[i]+1)=sum_{k=1}^{i}c[i]+i $，所以$x=s[i]-s[j]-1$。再将那个$-1$与$L$合并，即$L=L+1$，然后我们就得到整理后的方程：$$ f[i]=min{ f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2 } $$
证明决策单调性：$( j > k )$
[ egin{aligned} f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2 &< f[k]+(s[i]-s[k]-L)^2 \ f[j]-f[k]+(s[j]^2-s[k]^2) &< 2*(s[i]-L)*(s[j]-s[k]) \ frac{ f[j]-f[k]+(s[j]^2-s[k]^2) }{ 2*(s[j]-s[k]) } &< s[i]-L end{aligned} ]
这里将 $s[i]-L$ 当作一个整体来计算
1 /************************************************************** 2 Problem: 1010 3 User: Tunix 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:132 ms 7 Memory:2640 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 //BZOJ 1010 11 #include<cmath> 12 #include<vector> 13 #include<cstdio> 14 #include<cstring> 15 #include<cstdlib> 16 #include<iostream> 17 #include<algorithm> 18 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i) 19 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i) 20 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i) 21 #define pb push_back 22 using namespace std; 23 int getint(){ 24 int v=0,sign=1; char ch=getchar(); 25 while(ch<'0'||ch>'9'){ if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();} 26 while(ch>='0'&&ch<='9'){ v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();} 27 return v*=sign; 28 } 29 const int N=50010; 30 typedef long long LL; 31 /******************tamplate*********************/ 32 LL c[N],s[N],f[N]; 33 int q[N],l,r; 34 double slop(int k,int j){ 35 return double(f[j]+s[j]*s[j]-f[k]-s[k]*s[k])/ 36 double(2*(s[j]-s[k])); 37 } 38 int main(){ 39 int n=getint(),L=getint()+1; 40 F(i,1,n){ 41 c[i]=getint()+1; 42 s[i]=s[i-1]+c[i]; 43 } 44 F(i,1,n){ 45 while(l<r && slop(q[l],q[l+1])<s[i]-L) l++; 46 int t=q[l]; 47 f[i]=f[t]+(s[i]-s[t]-L)*(s[i]-s[t]-L); 48 while(l<r && slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i))r--; 49 q[++r]=i; 50 } 51 printf("%lld ",f[n]); 52 return 0; 53 }
1010: [HNOI2008]玩具装箱toy
Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 162 MBSubmit: 7156 Solved: 2714
[Submit][Status][Discuss]
Description
P 教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维 容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。 同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度 将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作 出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
输出最小费用
Sample Input
3
4
2
1
4