ACM-ICPC (10/11)

莫比乌斯

今年的多校比赛，莫比乌斯反演的题目经常出现，但是我们队对于这种题可以说是直接放掉，不是因为没学过，多少了解一些，但是也只是皮毛，导致根本就做不出来，其实想一想，其实次数多了，就可以看出原因了，没有过总结，没有过思考，昨天心血来潮，好好的看了一下莫比乌斯反演，有一点感悟！

• 什么是莫比乌斯反演

​

​

​

...

​

可以通过​ 反向推导出 ​

​

​

...

​

公式：

其中 即为莫比乌斯函数。

也可以如下定义：

• 分解质因数，无不相同，则

• 其他为0

性质：积性函数

莫比乌斯（容斥的优化）——我的理解

怎么求莫比乌斯函数？

• 类似于筛素数的方案，O(nlogn)，一般足够了。

• 级别，无法预处理出1~n的莫比乌斯表，利用因式分解，讨论因子的拿法（类似压状），O(sqrt(n))

栗子：

//求莫比乌斯函数 O(nlogn)
void getMu() {
    for(int i = 1; i < maxn; i++) {
        int target = i == 1 ? 1 : 0;
        int delta = target - mu[i];
        mu[i] = delta;
​
        for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i)
            mu[j] +=delta;
    }
}

// n 的 约数的莫比乌斯函数值map形式返回 O(sqrt(n))
map<int,int> moebius(int n) {
    map<int,int> res;
    vector<int> primes;
​
    //枚举n的质数
    for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
        if(n%i==0) {
            primes.push_back(i);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n!=1) primes.push_back(n);
​
    int m = primes.size();
    //不超过n的约数个数 次
    for(int i = 0; i < (1<<m); i++) {
        int mu = 1,d = 1;
        for(int j = 0; j < m; j++) {
            if(i>>j&1) {
                mu*=-1;
                d*=primes[j];
            }
        }
        res[d] = mu;
    }
    return res;
}

例题一：

分析：总共26^n，根据容斥，枚举最短循环节d，减去26^d，根据莫比乌斯函数来容斥优化。注意数据范围极大！

#include <bits/stdc++.h>
​
using namespace std;
​
typedef long long ll;
​
// n 的 约数的莫比乌斯函数值map形式返回 O(sqrt(n))
map<int,int> moebius(int n) {
    map<int,int> res;
    vector<int> primes;
​
    //枚举n的质数
    for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
        if(n%i==0) {
            primes.push_back(i);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n!=1) primes.push_back(n);
​
    int m = primes.size();
    //不超过n的约数个数 次
    for(int i = 0; i < (1<<m); i++) {
        int mu = 1,d = 1;
        for(int j = 0; j < m; j++) {
            if(i>>j&1) {
                mu*=-1;
                d*=primes[j];
            }
        }
        res[d] = mu;
    }
    return res;
}
​
const int MOD = 10009;
​
int n;
​
//快速幂取模 a^b % mod;
ll pow_mod(ll a,ll b) {
    if(b==0) return 1%MOD;
    int temp = pow_mod(a,b>>1);
​
    temp = temp*temp%MOD;    if(b&1) temp = (ll)temp*a%MOD;    return temp;}​void solve() {    ll res = 0;    map<int,int> mu = moebius(n);    for(auto it = mu.begin(); it != mu.end(); it++) {        //printf("%d %d
",it->first,it->second);        res += (ll)it->second*pow_mod(26,n/it->first);        res = (res%MOD + MOD) % MOD;    }    printf("%I64d
",res);}​int main(){    scanf("%d",&n);    solve();    return 0;}

例题二：

分析：

注意：(1,3),(3,1)相同。

先考虑不同的情况：

即：两个区间内互质的对数，同理：总共 对，减去不符合情况的对数，枚举gcd，就有 * 对，然后用莫比乌斯来容斥。

怎么解决（1,3）（3,1）相同的情况呢？

还是容斥！！！

减去较小区间做一遍上述操作的一半。

#include <bits/stdc++.h>
​
using namespace std;
​
const int maxn = 1<<20;
int mu[maxn];
​
​
//求莫比乌斯函数
void getMu() {
    for(int i = 1; i < maxn; i++) {
        int target = i == 1 ? 1 : 0;
        int delta = target - mu[i];
        mu[i] = delta;
​
        for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i)
            mu[j] +=delta;
    }
}
​
int main()
{
    getMu();
​
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int z = 1; z <= T; z++) {
        int a,b,c,d,k;
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
        if(k==0) {
            puts("0");
            continue;
        }
        b/=k;
        d/=k;
        if(b>d) swap(b,d);  //b小
        long long ans1 = 0;
        for(int i = 1; i <= b; i++)
            ans1 += (long long)mu[i]*(b/i)*(d/i);
​
        long long ans2 = 0;
        for(int i = 1; i <= b; i++)            ans2 += (long long)mu[i]*(b/i)*(b/i);        ans1 -= ans2/2;        printf("%I64d
",ans1);    }​​    return 0;}

例题三：

题意：给定一个正方体的区间，从坐标(0,0,0)处可以看到多少个整点？

分析：(1,1,1) 能看到，但是(2,2,2)就三点共线挡住了，同理(2,3,4)能看到，但是(4,6,8)就看不到了，可以看出就是 的点，被除以gcd的点挡住了。也就是求 （x,y,z）互质的点对，就是上一题加一维。

值得注意的是区间是[1,n]，整个坐标系可以x = 0等，x等于0，相当于一个平面，减一围。

还有3个坐标轴上的点。

#include <bits/stdc++.h>
​
using namespace std;
​
const int maxn = 1<<20;
int mu[maxn];
​
​
//求莫比乌斯函数
void getMu() {
    for(int i = 1; i < maxn; i++) {
        int target = i == 1 ? 1 : 0;
        int delta = target - mu[i];
        mu[i] = delta;
​
        for(int j = i + i ; j < maxn; j+=i)
            mu[j] +=delta;
    }
}
​
typedef long long ll;
​
int main()
{
    getMu();
​
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        int n;
        scanf("%d",&n);
​
        ll ans = 3;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            ans+= (ll)mu[i]*(n/i)*(n/i)*(n/i+3);
        printf("%lld
",ans);
​
​
    }
    return 0;
}

到此，你就已经入门莫比乌斯了~~~

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