• 矩阵快速幂


    矩阵乘法是一种矩阵运算,满足交换律,可以写成幂的形式,所以我们可以使用矩阵快速幂来解决一些问题

    先来看普通的快速幂:

    快速幂

    ll qpow(int a,int p){
        if(p == 0)return 1;
        ll temp = (qpow(a,p >> 1)) % M;	
        if(p % 2 == 0){
            return (temp * temp) % M;
            }
        else{
            return (temp * temp * a) % M;
            }
        }
    

    把幂拆成 n * 2 或者n * 2 + 1的形式,避免重复运算,提高效率。因为结果通常很大,记得不要弄错MOD

    矩阵乘法

    设A为 的矩阵,B为 的矩阵,那么称 的矩阵C为矩阵A与B的乘积,记作 ,其中矩阵C中的第 行第 列元素可以表示为:

    如下所示:

    (摘自百度百科)

    所以我们说:矩阵能相乘是有条件的:A矩阵的列数必须等于B的行数,得到的矩阵行数等于A的行数,列数等于B的列数

    以下是矩阵乘法的代码

    struct Mtrix{
       ll a[19][19];
       ll n,m;
       };
    Mtrix X(Mtrix a,Mtrix b){
       Mtrix ans;
       for(ll i = 1;i <= a.n;i++)
           for(ll j = 1;j <= b.m;j++)
               ans.a[i][j] = 0;
       ans.n = a.n;
       ans.m = b.m;
       for(ll i = 1;i <= ans.n;i++){
           for(ll j = 1;j <= ans.m;j++){
               for(ll k = 1;k <= a.m;k++){
                   ans.a[i][j] += (a.a[i][k] * b.a[k][j]) % M;
                   ans.a[i][j] %= M;
                   }
               }
           }
       return ans;
       }
    

    矩阵快速幂

    模仿一下一般快速幂,我们就可以得到矩阵快速幂的代码

    Mtrix M_qpow(Mtrix a,ll p){
       if(p == 1)return a;
       Mtrix temp = M_qpow(a,p >> 1);
       if(p % 2 == 0)return X(temp,temp);
       else return X(a,X(temp,temp));
       }
    

    我们不知道当p == 0时的矩阵值是多少,就干脆返回p == 1时为原矩阵就好

    模板题:P3390 【模板】矩阵快速幂

    利用矩阵快速幂优化递推问题

    先看这题:

    P1962 斐波那契数列

    题目背景

    大家都知道,斐波那契数列是满足如下性质的一个数列:

    • f(1) = 1

    • f(2) = 1

    • f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

    题目描述

    请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

    输入输出格式

    输入格式:
    ·第 1 行:一个整数 n

    输出格式:
    第 1 行: f(n) mod 1000000007 的值

    说明

    对于 60% 的数据: n ≤ 92

    对于 100% 的数据: n在long long(INT64)范围内


    第一眼:水题!!

    然后

    题目:你以为呢?

    瞟了一眼数据范围n在long long(INT64)范围内,吓个半死。

    普通记忆化所需要的大量空间是肯定支持不了了,这时候就要用的矩阵快速幂

    首先依据斐波那契的定义式:

    那么对于一个斐波那契矩阵:

    第几项
    n f(n)
    n + 1 f(n + 1)

    我们可以这样写:

    第几项
    n f(n) = f(n)
    n + 1 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)

    然后是不是可以由这个得到:

    第几项
    n - 1 f(n - 1)
    n f(n)

    具体:

    f(n)=上面那个矩阵第一行×0+第二行×1

    f(n+1)=上面矩阵第一行×1+第二行×1

    怎么样,是不是特别熟悉?没错,矩阵运算!

    它长这样:

    0 1
    1 1

    这就是斐波那契的递推矩阵

    再观察我们可以发现,f(n)其实就是f(1);f(2)【纵向排列】乘以递推矩阵的(n - 1)次方,那么问题就解决了

    代码:

    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<cstdio>
    #include<queue>
    #define ll long long
    using namespace std;
    ll RD(){
        ll flag = 1,out = 0;char c = getchar();
        while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
        while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
        return flag * out;
        }
    const ll M = 1000000007;
    ll n;
    struct Mtrix{
        ll a[19][19];
        ll n,m;
        };
    Mtrix X(Mtrix a,Mtrix b){
        Mtrix ans;
        for(ll i = 1;i <= a.n;i++)
            for(ll j = 1;j <= b.m;j++)
                ans.a[i][j] = 0;
        ans.n = a.n;
        ans.m = b.m;
        for(ll i = 1;i <= ans.n;i++){
            for(ll j = 1;j <= ans.m;j++){
                for(ll k = 1;k <= a.m;k++){
                    ans.a[i][j] += (a.a[i][k] * b.a[k][j]) % M;
                    ans.a[i][j] %= M;
                    }
                }
            }
        return ans;
        }
    Mtrix M_qpow(Mtrix a,ll p){
        if(p == 1)return a;
        Mtrix temp = M_qpow(a,p >> 1);
        if(p % 2 == 0)return X(temp,temp);
        else return X(a,X(temp,temp));
        }
    Mtrix a,ori;
    int main(){
        n = RD();
        if(n == 1){
            cout<<1<<endl;
            return 0;
            }
        a.n = 2,a.m = 1;
        a.a[1][1] = 1,a.a[2][1] = 1;
        
        ori.n = 2,ori.m = 2;
        ori.a[1][1] = 0,ori.a[1][2] = 1,ori.a[2][1] = 1,ori.a[2][2] = 1;
        Mtrix last = M_qpow(ori,n - 1);
        Mtrix ans = X(last,a);
        cout<<ans.a[1][1] % M<<endl;
        return 0;
        }
    

    总结

    利用矩阵快速幂来求解递推是递推的一大法宝,要熟练运用

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Tony-Double-Sky/p/9283247.html
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