| | 作业要求 | K-近邻算法及应用 |
| 作业目标 | 理解K-近邻算法原理，能实现算法K近邻算法 |
| 学号 | 3180110234 |
【实验目的】
1.理解K-近邻算法原理，能实现算法K近邻算法；
2.掌握常见的距离度量方法；
3.掌握K近邻树实现算法；
4.针对特定应用场景及数据，能应用K近邻解决实际问题。
【实验内容】
1.实现曼哈顿距离、欧氏距离、闵式距离算法，并测试算法正确性。
一、闵可夫斯基距离
闵可夫斯基距离又叫做闵氏距离，是一组距离的定义，
其计算公式为如下图
根据q取值的不同，闵氏距离可分为曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离等。
1.曼哈顿距离
曼哈顿距离标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。
当q=1时的一阶闵氏距离称为绝对值距离，又叫做曼哈顿距离。其计算公式为：
2.欧氏距离
当q=2时，二阶闵氏距离称为欧几里得距离或欧氏距离。欧氏距离是坐标系内两点的直线距离。其计算公式如下：
3.切比雪夫距离
当→∞时，闵氏距离可以转化为切比雪夫距离（Chebyshev distance），其计算公式为：
`import math
from itertools import combinations
度量距离
def L(x, y, p=2):
x1 = [1, 1], x2 = [5,1]
if len(x) == len(y) and len(x) > 1:
sum = 0
for i in range(len(x)):
sum += math.pow(abs(x[i] - y[i]), p)#求解sum=(|x1-y1|^p+|x2-y2|^p+...+|xi-yi|^p)
return math.pow(sum, 1/p)#对sum进行开根计算
else:
return 0
计算x1与x2和x3之间的距离
for i in range(1, 5): # i从1到4
r = { '1-{}'.format(c):L(x1, c, p=i) for c in [x2, x3]} # 创建一个字典
print(min(zip(r.values(), r.keys()))) # 当p=i时选出x2和我x3中距离x1最近的点`
结果：
(4.0, '1-[5, 1]')
(4.0, '1-[5, 1]')
(3.7797631496846193, '1-[4, 4]')
(3.5676213450081633, '1-[4, 4]')
2.实现K近邻树算法；
kd树:
kd树是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构。
kd树是二叉树，表示对k kk维空间的一个划分。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k kk维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域。kd树的每个结点对应于一个k kk维超矩形区域。
构造kd树的方法如下：
构造根结点，使根结点对应于k kk维空间中包含所有实例点的超矩形区域；通过下面的递归方法，不断地对k kk维空间进行切分，生成子结点。在超矩形区域（结点）上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点，确定一个超平面，这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴，将当前超矩形区域切分为左右两个子区域 （子结点）；这时，实例被分到两个子区域。这个过程直到子区域内没有实例时终止（终止时的结点为叶结点）。在此过程中，将实例保存在相应的结点上。
通常，依次选择坐标轴对空间切分，选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数 （median）为切分点，这样得到的kd树是平衡的。注意，平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。
构造kd树代码及其注释：
`# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下
class KdNode(object):
def init(self, dom_elt, split, left, right):
self.dom_elt = dom_elt # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
self.split = split # 整数（进行分割维度的序号）
self.left = left # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
self.right = right # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree
class KdTree(object):
def init(self, data):
k = len(data[0]) # 数据长度
def CreateNode(split, data_set): # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
if not data_set: # 数据集为空
return None
# key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
# operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象中的序号
#data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
data_set.sort(key=lambda x: x[split])
split_pos = len(data_set) // 2 # //为Python中的整数除法
median = data_set[split_pos] # 中位数分割点
split_next = (split + 1) % k # 周期坐标
# 递归的创建kd树
return KdNode(
median,
split,
CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]), # 创建左子树
CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:])) # 创建右子树
self.root = CreateNode(0, data) # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点
KDTree的前序遍历
def preorder(root):
print(root.dom_elt)
if root.left: # 节点不为空
preorder(root.left)
if root.right:
preorder(root.right)
对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple
定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple",
"nearest_point nearest_dist nodes_visited")
def find_nearest(tree, point):
k = len(point) # 数据维度
def travel(kd_node, target, max_dist):
if kd_node is None:
return result([0] * k, float("inf"),
0) # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷
nodes_visited = 1
s = kd_node.split # 进行分割的维度
pivot = kd_node.dom_elt # 进行分割的“轴”
if target[s] <= pivot[s]: # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
nearer_node = kd_node.left # 下一个访问节点为左子树根节点
further_node = kd_node.right # 同时记录下右子树
else: # 目标离右子树更近
nearer_node = kd_node.right # 下一个访问节点为右子树根节点
further_node = kd_node.left
temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist) # 进行遍历找到包含目标点的区域
nearest = temp1.nearest_point # 以此叶结点作为“当前最近点”
dist = temp1.nearest_dist # 更新最近距离
nodes_visited += temp1.nodes_visited#统计访问过的节点数
if dist < max_dist:
max_dist = dist # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内
temp_dist = abs(pivot[s] - target[s]) # 第s维上目标点与分割超平面的距离
if max_dist < temp_dist: # 判断超球体是否与超平面相交
return result(nearest, dist, nodes_visited) # 不相交则可以直接返回，不用继续判断
temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2)**2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))
if temp_dist < dist: # 如果“更近”
nearest = pivot # 更新最近点
dist = temp_dist # 更新最近距离
max_dist = dist # 更新超球体半径
# 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
temp2 = travel(further_node, target, max_dist)
nodes_visited += temp2.nodes_visited#统计访问过的节点数
if temp2.nearest_dist < dist: # 如果另一个子结点内存在更近距离
nearest = temp2.nearest_point # 更新最近点
dist = temp2.nearest_dist # 更新最近距离
return result(nearest, dist, nodes_visited)
return travel(tree.root, point, float("inf")) # 从根节点开始递归
3.针对iris数据集，应用sklearn的K近邻算法进行类别预测。 原始iris数据集:import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
matplotlib inline
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter
导入数据
iris = load_iris()#导入iris数据集，是安德森鸢尾花卉数据集。iris_data是一个类似字典的对象。
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)#DataFrame生成二维数据表，列标为iris表的特征名
df['label'] = iris.target#iris的每个样本都包含了品种信息，即目标属性（第5列，也叫target或label）
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']#df的列标
data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
print(df)`
输出结果：
sepal length sepal width petal length petal width label
0 5.1 3.5 1.4 0.2 0
1 4.9 3.0 1.4 0.2 0
2 4.7 3.2 1.3 0.2 0
3 4.6 3.1 1.5 0.2 0
4 5.0 3.6 1.4 0.2 0
5 5.4 3.9 1.7 0.4 0
6 4.6 3.4 1.4 0.3 0
7 5.0 3.4 1.5 0.2 0
8 4.4 2.9 1.4 0.2 0
9 4.9 3.1 1.5 0.1 0
10 5.4 3.7 1.5 0.2 0
11 4.8 3.4 1.6 0.2 0
12 4.8 3.0 1.4 0.1 0
13 4.3 3.0 1.1 0.1 0
14 5.8 4.0 1.2 0.2 0
15 5.7 4.4 1.5 0.4 0
16 5.4 3.9 1.3 0.4 0
17 5.1 3.5 1.4 0.3 0
18 5.7 3.8 1.7 0.3 0
19 5.1 3.8 1.5 0.3 0
20 5.4 3.4 1.7 0.2 0
21 5.1 3.7 1.5 0.4 0
22 4.6 3.6 1.0 0.2 0
23 5.1 3.3 1.7 0.5 0
24 4.8 3.4 1.9 0.2 0
25 5.0 3.0 1.6 0.2 0
26 5.0 3.4 1.6 0.4 0
27 5.2 3.5 1.5 0.2 0
28 5.2 3.4 1.4 0.2 0
29 4.7 3.2 1.6 0.2 0
.. ... ... ... ... ...
120 6.9 3.2 5.7 2.3 2
121 5.6 2.8 4.9 2.0 2
122 7.7 2.8 6.7 2.0 2
123 6.3 2.7 4.9 1.8 2
124 6.7 3.3 5.7 2.1 2
125 7.2 3.2 6.0 1.8 2
126 6.2 2.8 4.8 1.8 2
127 6.1 3.0 4.9 1.8 2
128 6.4 2.8 5.6 2.1 2
129 7.2 3.0 5.8 1.6 2
130 7.4 2.8 6.1 1.9 2
131 7.9 3.8 6.4 2.0 2
132 6.4 2.8 5.6 2.2 2
133 6.3 2.8 5.1 1.5 2
134 6.1 2.6 5.6 1.4 2
135 7.7 3.0 6.1 2.3 2
136 6.3 3.4 5.6 2.4 2
137 6.4 3.1 5.5 1.8 2
138 6.0 3.0 4.8 1.8 2
139 6.9 3.1 5.4 2.1 2
140 6.7 3.1 5.6 2.4 2
141 6.9 3.1 5.1 2.3 2
142 5.8 2.7 5.1 1.9 2
143 6.8 3.2 5.9 2.3 2
144 6.7 3.3 5.7 2.5 2
145 6.7 3.0 5.2 2.3 2
146 6.3 2.5 5.0 1.9 2
147 6.5 3.0 5.2 2.0 2
148 6.2 3.4 5.4 2.3 2
149 5.9 3.0 5.1 1.8 2
[150 rows x 5 columns]
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')#画散点图的范围 plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1') plt.xlabel('sepal length')#横坐标的名称 plt.ylabel('sepal width')#纵坐标的名称 plt.legend()#添加图例 plt.show()#显示图片
4.针对iris数据集，编制程序使用K近邻树进行类别预测。
`data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
将列表list或元组tuple转换为ndarray数组,iloc函数只根据行列号对数据进行索引，行到100，列为0,1，-1
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]#x,y数据的取值。x取所有行，列到倒数第二列；y取所有行，列为最后一列
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)
'''
train_test_split()是分离器函数，用于将数组或矩阵划分为训练集和测试集，
函数样式为：X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(train_data, train_target, test_size, random_state，shuffle)
train_data：待划分的样本数据
train_target：待划分的对应样本数据的样本标签
test_size：1）浮点数，在0 ~ 1之间，表示样本占比（test_size = 0.3，则样本数据中有30%的数据作为测试数据，记入X_test，其余70%数据记入X_train，
同时适用于样本标签）； 2）整数，表示样本数据中有多少数据记入X_test中，其余数据记入X_train)
'''
class KNN:
def init(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):#构造函数
"""
parameter: n_neighbors 临近点个数
parameter: p 距离度量
"""
self.n = n_neighbors
self.p = p
self.X_train = X_train
self.y_train = y_train
def predict(self, X):
#设置一个空列表,取n个点
knn_list = []
for i in range(self.n):#先取n_neighbers个点，放入空列表.
dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)#求二范数，即欧式距离。
knn_list.append((dist, self.y_train[i]))#在列表末尾添加新的对象
for i in range(self.n, len(self.X_train)):
'''
range()函数创建一个包含指定范围的元素的数组,
再取剩下的n-n_neighbers个点，然后与n_neihbers个点比大小，将距离大的点更新出局，保证knn_list里面是距离小的点。
'''
max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0]))#求原来表格里的最大值
#knn_list为对象，key=lambda x: x[0] 为对前面的对象中的第一维数据的值进行求最大值。key=lambda 变量：变量[维数]
dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)#求二范数
if knn_list[max_index][0] > dist:
knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])#找出与X最邻近的n_neighbors个点
#取出最后一列值（类别值),计算最邻近的n_neighbors个点多数属于某个类
knn = [k[-1] for k in knn_list]
count_pairs = Counter(knn)
max_count = sorted(count_pairs, key=lambda x: x[-1])#以类别数最多的作为被分类的类别
# count_pairs为待排序的对象，key=lambda x: x[-1] 为对前面的对象中的倒数第一维数据的值进行排序。
max_count = sorted(count_pairs.items(), key=lambda x: x[1])[-1][0]#不太明白
return max_count
def score(self, X_test, y_test): # score就是一个预测正确率
right_count = 0
n = 10
for X, y in zip(X_test, y_test):
label = self.predict(X)
if label == y:#判断是否正确
right_count += 1#正确+1
return right_count / len(X_test)#计算正确率
clf = KNN(X_train, y_train)
print(clf.score(X_test, y_test))#输出得分率`
输出：
1.0
test_point = [6.0, 3.0] print('Test Point: {}'.format(clf.predict(test_point)))#返回该点的预测标签
输出：
Test Point: 1.0
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')#画散点图的范围 plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1') plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')#画[6.0, 3.0] plt.xlabel('sepal length') plt.ylabel('sepal width') plt.legend() plt.show()
