这一节主要讨论采样定理，在《傅里叶变换及其应用及其学习笔记》中有进行过推导与讲解，因此下面的内容也大同小异。不过如果是从《离散时间信号处理》这一本书的内容开始学习到这一节，则应先学习本文内容所需要的一些前置知识：傅里叶变换（连续时间），主要用到的是脉冲函数$delta$，以及周期脉冲函数Ш的傅里叶变换与相关性质。
比较重要的一点就是，本书采用的傅里叶变换是基于信号周期为$2pi$的假设，而《傅里叶变换及其应用及其学习笔记》中的假设为1，因此本书所采用的傅里叶变换公式有必要列出：
傅里叶变换：
$displaystyle{F(jOmega) =int_{-infty}^{infty}f(t)e^{-jOmega t}dt }$
傅里叶逆变换：
$displaystyle{f(t) = frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}F(jOmega)e^{jOmega t}dOmega}$
此外，本文所用到的傅里叶变换卷积定理也有所不同：
$egin{align*}
mathcal{F}(fcdot g) &= frac{1}{2pi}F*G &
quadmathcal{F}^{-1}(F*G) &= 2pi fcdot g\
mathcal{F}(f*g) &= Fcdot G &
quadmathcal{F}^{-1}(Fcdot G) &= f*g
end{align*}$
把前面的傅里叶变换公式代入容易证明上述卷积定理。
周期采样
假设有连续信号$x_c(t)$，我们需要通过对该信号进行采样才能得到离散信号，即样本序列$x[n]$。连续信号与离散信号有以下关系：
$x[n] = x_c(nT),quad –infty<n<infty$
其中，$T$为采样周期（sampling period），它的倒数$f_s=frac{1}{T}$为采样频率（sampling frequency），即每秒的样本数。不过本书是用弧度/秒来表示频率，因此采样频率的是$Omega_s = frac{2pi}{T}$。这两种不同的采样频率表示方法是依赖于傅里叶变换的假设，一般分为周期为$1$以及$2pi$两种假设。
数学上是通过下面的式子来表示对连续信号的采样：
$displaystyle{x_s(t)=x_c(t)underbrace{sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT)}_{sampling function s(t)=Ш_T}}$
其中的周期脉冲函数$Ш_T$就是周期为$T$的脉冲函数。利用脉冲函数$delta$的采样性质就能采集到一个函数相应位置的值。因此可以得到
$displaystyle{x_s(t)=sum_{n=-infty}^{infty}x_c(nT)delta(t-nT)}$
需要明确的一点是：$x_s(t)$是一个连续时间函数，取样点上的是脉冲，除了取样点之外的值为0；而$x[n]$是一个离散时间序列。
奈奎斯特采样定理
为了方便阅读，下面先列出了各个符号及其含义
| Symbol | FT | DTFT | Info |
| $x_c(t)$ | $X_c(jOmega)$ | - | 连续时间信号 |
| $x[n]$ | - | $X(e^{jomega})$ | 离散时间信号 |
| $s(t)$ | $S(jOmega)$ | - | 周期脉冲函数、即采样函数 |
| $x_s(t)$ | $X_s(jOmega)$ | - | 信号周期采样的数学表示 |
| $Omega_N$ | - | - | 奈奎斯特频率，也就是带限信号的受限频率 |
| $Omega_s$ | - | - | 采样频率 |
| $T$ | - | - | 采样周期 |
| $h_r(t)$ | $H_r(jOmega)$ | - | 连续时间低通滤波器 |
周期脉冲函数$s(t) = Ш_T$的傅里叶变换仍然是一个周期脉冲函数（推导过程）
$S(jOmega) = frac{2pi}{T}Ш_{frac{2pi}{T}}$
那么根据傅里叶变换的卷积定理，可以得到$x_s(t)$的傅里叶变换如下
$egin{align*}
X_s(jOmega)
&= frac{1}{2pi}X_c(jOmega)*S(jOmega)\
&= frac{1}{2pi}X_c(jOmega)*frac{2pi}{T}Ш_{frac{2pi}{T}}\
&= frac{1}{T}X_c*Ш_{frac{2pi}{T}}
end{align*}$
而脉冲函数的卷积又具有移位特性，那么$X_s(jOmega)$就相当于无数个经过移位的$frac{1}{T}X_c(jOmega)$的叠加。这种叠加能分为两种情况
- 如果原函数的傅里叶变换$X_c(jOmega)$的频率受限于$frac{Omega_s}{2} = frac{pi}{T}quad(Omega_s = frac{2pi}{T})$，那么$X_c(Omega)$经过移位后不会重叠。
- 否则原函数的傅里叶变换在经过移位后会重叠，这种情况被称为混叠（alias）。
如上面的四张图描述的是信号的频域。图1是一个频率受限于$(-Omega_N, Omega_N)$的信号，图2是一个在频域上周期为$Omega_s$的周期脉冲函数（从时域上看，该信号的频率为$Omega_s$），当信号与周期脉冲函数进行卷积后可以得到图3或者图4。
对于非混叠的频谱，我们能很容易地使用一个经过$T$加权（乘以$T$）的低通滤波器来得到原本的频谱，也就是说能通过该频谱还原原本的信号；不过对于混叠的频谱，采用低通滤波器得到的就不是原本的频谱，也就无法得到原本的信号了。
这意味着，对带限为$Omega_N$的信号进行采样，如果希望用采样后的样本恢复成原来的信号，那么采用频率$Omega_s$必须满足$Omega_sgeqslant 2Omega_N$。这就是奈奎斯特采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）。其中$Omega_N$被称为奈奎斯特频率（Nyquist frequency），$2Omega_N$被称为奈奎斯特率（Nyquist rate）。
由样本重构带限信号
按照上面的讨论，如果我们按照奈奎斯特采样定理对带限信号进行采样，那么就能用所得的样本重构原带限信号。
在上一小节的最后，我们可以看到如果我们遵循奈奎斯特采样定理，则能通过低通滤波器得到原信号的频谱，有了这个频谱，我们进行傅里叶逆变换则能得到原始信号，有以下推导过程：
$egin{align*}
x_c(t) &= mathcal{F}^{-1}(X_s(jOmega)H_r(jOmega)) qquad H_r(jOmega)=left{egin{matrix}
T, & |Omega|leqslant Omega_s/2=frac{pi}{T}\
0, & else
end{matrix}
ight. \
&= x_s(t)*h_r(t)qquad fourier convolution theorem\
&= left{ sum_{n=-infty}^{infty}x[n]delta(t-nT)
ight }*left{ frac{sin(pi t/T)}{pi t/T}
ight}\
&= sum_{n=-infty}^{infty}x[n]left{delta(t-nT) * frac{sin(pi t/T)}{pi t/T}
ight}qquad x[n] is sample value,constant \
&= sum_{n=-infty}^{infty}x[n]frac{sin[pi (t-nT)/T]}{pi (t-nT)/T} qquad delta shift property
end{align*}$
因此，我们可以通过对采样$x[n]$进行上述运算以得到原始信号。
上面的式子可以分为两部分，一部分为采样值$x[n]$，另一部分为sinc函数，这个sinc函数就是低通滤波函数的时域模式，如下图是一个为$frac{sin(pi x/T)}{pi x/T}$的sinc函数。
因此奈奎斯特采样定理也能这么理解：如果要采样的信号受限于$(-Omega_N, Omega_N)，$在采样频率$Omega_s$满足$Omega_sgeqslant 2Omega_N$的前提下，采样得到的值为$x[n]$，通过对低通滤波器对应的sinc函数进行平移以及加权（乘以$x[n]$），然后把经过调整后的sinc函数进行叠加，即可得到原来的信号。
对照上面两幅图以及sinc函数的曲线，容易看出该函数在$pm T, pm 2T, pm 3T cdotcdotcdot$处的值都为0，而零点处的值为1，正是这个特点使得sinc函数的峰值就是采样点上的值。